Combinatoire et dénombrement

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1
Combien d'anagrammes (mots ayant un sens ou non) peut-on former avec toutes les lettres du mot JOUER ? Les 5 lettres J, O, U, E, R sont toutes différentes.
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Une anagramme est un rangement ordonné des 5 lettres, toutes distinctes : c'est une permutation de 5 objets.
Nombre de permutations : 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Il y a donc 120 anagrammes.
Raisonnement : 5 choix pour la 1ʳᵉ lettre, 4 pour la 2ᵉ, 3 pour la 3ᵉ, 2 pour la 4ᵉ, 1 pour la dernière, soit 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
2
Un club compte 12 membres. On veut former un comité de 3 membres (sans distinction de rôle). Combien de comités différents peut-on former ?
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Un comité est un choix de 3 personnes parmi 12, sans ordre (les 3 membres ont le même statut) : c'est une combinaison.
C(12, 3) = $\frac{12! }{ (3! \times 9!)}$ .
On simplifie avec 12! = 12 × 11 × 10 × 9! :
C(12, 3) = $\frac{12 \times 11 \times 10 }{ 3!}$ = $\frac{12 \times 11 \times 10 }{ 6}$ .
On calcule le numérateur : 12 × 11 = 132, puis 132 × 10 = 1320.
C(12, 3) = $\frac{1320 }{ 6}$ = 220.
Il y a donc 220 comités possibles.
3
Dans une classe de 5 filles et 6 garçons, on veut former un groupe de 2 filles et 3 garçons. Combien de groupes différents peut-on constituer ?
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4
Combien de codes à 4 chiffres (de 0 à 9) peut-on former si tous les chiffres doivent être différents ?
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5
Avec un jeu de 32 cartes, une « main » est un ensemble de 5 cartes (l'ordre du tirage n'a pas d'importance). Combien de mains différentes de 5 cartes peut-on obtenir ?
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6
Sur un quadrillage, un pion part du coin en bas à gauche et doit atteindre un coin situé 4 pas à droite et 3 pas vers le haut. Il ne peut se déplacer que d'un pas vers la droite (D) ou d'un pas vers le haut (H). Combien de chemins différents mènent au but ?
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7
Un polygone possède 8 sommets (un octogone). Combien de diagonales possède-t-il ? (Une diagonale relie deux sommets non voisins.)
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8
Combien y a-t-il de nombres entiers pairs compris entre 100 et 999 (nombres à 3 chiffres) ?
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9
Une urne contient 8 boules numérotées de 1 à 8. On tire successivement 3 boules sans remise, en tenant compte de l'ordre des tirages. Combien de résultats différents peut-on obtenir ?
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10
Lors d'une réunion, 15 personnes se serrent la main une seule fois deux à deux. Combien de poignées de main sont échangées au total ?
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