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Combinatoire et dénombrement

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  1. 1

    Combien d'anagrammes (mots ayant un sens ou non) peut-on former avec toutes les lettres du mot JOUER ? Les 5 lettres J, O, U, E, R sont toutes différentes.

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    Une anagramme est un rangement ordonné des 5 lettres, toutes distinctes : c'est une permutation de 5 objets.
    Nombre de permutations : 5! =5×4×3×2×1=120= 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120.
    Il y a donc 120 anagrammes.
    Raisonnement : 5 choix pour la 1ʳᵉ lettre, 4 pour la 2ᵉ, 3 pour la 3ᵉ, 2 pour la 4ᵉ, 1 pour la dernière, soit 5×4×3×2×1=1205 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120.

  2. 2

    Un polygone possède 8 sommets (un octogone). Combien de diagonales possède-t-il ? (Une diagonale relie deux sommets non voisins.)

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    On relie des paires de sommets : chaque paire de sommets définit un segment. Le nombre de segments reliant 2 sommets parmi 8 est C(8, 2).
    C(8,2)=8×72=562=28C(8, 2) = \frac{8 \times 7 }{ 2} = \frac{56 }{ 2} = 28.
    Parmi ces 28 segments, il y a les 8 côtés du polygone (qui relient des sommets voisins) : ce ne sont pas des diagonales.
    Nombre de diagonales =28−8=20= 28 - 8 = 20.
    L'octogone possède donc 20 diagonales.

  3. 3

    Lors d'une réunion, 15 personnes se serrent la main une seule fois deux à deux. Combien de poignées de main sont échangées au total ?

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  4. 4

    Sur un quadrillage, un pion part du coin en bas à gauche et doit atteindre un coin situé 4 pas à droite et 3 pas vers le haut. Il ne peut se déplacer que d'un pas vers la droite (D) ou d'un pas vers le haut (H). Combien de chemins différents mènent au but ?

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  5. 5

    Dans une classe de 5 filles et 6 garçons, on veut former un groupe de 2 filles et 3 garçons. Combien de groupes différents peut-on constituer ?

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  6. 6

    Un club compte 12 membres. On veut former un comité de 3 membres (sans distinction de rôle). Combien de comités différents peut-on former ?

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  7. 7

    Combien y a-t-il de nombres entiers pairs compris entre 100 et 999 (nombres à 3 chiffres) ?

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  8. 8

    Une urne contient 8 boules numérotées de 1 à 8. On tire successivement 3 boules sans remise, en tenant compte de l'ordre des tirages. Combien de résultats différents peut-on obtenir ?

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  9. 9

    Combien de codes à 4 chiffres (de 0 à 9) peut-on former si tous les chiffres doivent être différents ?

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  10. 10

    Avec un jeu de 32 cartes, une « main » est un ensemble de 5 cartes (l'ordre du tirage n'a pas d'importance). Combien de mains différentes de 5 cartes peut-on obtenir ?

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