Combinatoire et dénombrement

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1
De combien de façons différentes peut-on ranger 5 livres distincts côte à côte sur une étagère ?
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Ranger 5 livres distincts dans un ordre, c'est faire une permutation de 5 objets.
Le nombre de permutations de n objets distincts est n!.
Ici $n = 5$ : 5! $= 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ .
Il y a donc 120 rangements possibles.
Raisonnement direct : il y a 5 choix pour le livre de gauche, puis 4 choix pour le suivant, puis 3, puis 2, puis 1, soit $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ .
2
Un ensemble E possède 7 éléments. Combien de parties (sous-ensembles) l'ensemble E possède-t-il ?
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Le nombre de parties d'un ensemble à n éléments est 2ⁿ.
Ici $n = 7$ , donc le nombre de parties est 2⁷.
On calcule : $2^{7} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 128$ .
Il y a donc 128 parties.
Pourquoi 2ⁿ ? Pour chacun des 7 éléments, on prend une décision indépendante : il est « dans » la partie ou « hors » de la partie, soit 2 choix. Cela fait $2 \times 2$ × ... $\times 2 (7 \text{facteurs}) = 2^{7}$ .
Ces 128 parties comprennent l'ensemble vide (tout élément « hors ») et l'ensemble E entier (tout élément « dans »).
3
Dans une association de 10 personnes, on doit désigner un président et un trésorier (deux postes différents, une même personne ne peut occuper les deux). Combien de choix possibles ?
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4
Soit E un ensemble de 4 éléments et F un ensemble de 7 éléments. Combien de couples (a, b) le produit cartésien $E \times F$ contient-il, avec a dans E et b dans F ?
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5
Combien de codes PIN à 5 chiffres (chaque chiffre de 0 à 9) peut-on former ? Les répétitions sont autorisées.
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6
Combien de mots de 3 lettres (ayant un sens ou non) peut-on écrire avec l'alphabet de 26 lettres, les répétitions de lettres étant autorisées ?
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7
On lance un dé à 6 faces, puis on lance une pièce de monnaie (Pile ou Face). Combien de résultats différents (dé, pièce) peut-on obtenir ?
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8
Calculer la combinaison C(6, 2), c'est-à-dire le nombre de façons de choisir 2 éléments parmi 6 (sans tenir compte de l'ordre).
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9
Dans un restaurant, un menu se compose d'une entrée (3 choix), d'un plat (4 choix) et d'un dessert (2 choix). Combien de menus différents peut-on composer ?
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10
Calculer la factorielle 6! (six factorielle).
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