Compléments sur la dérivation et convexité

🟠 Difficile

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1
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^{2} - 4x + 1)^{4}$ .
a) Calcule $f'(x)$ .
b) Détermine les valeurs de $x$ pour lesquelles $f'(x) = 0$ .
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a) On applique $(u^{n})' = n\,u^{n-1}u'$ avec $u = x^{2} - 4x + 1$ et $u' = 2x - 4$ .
$f'(x) = 4(x^{2} - 4x + 1)^{3}(2x - 4)$ .
On peut factoriser : $f'(x) = 8(x - 2)(x^{2} - 4x + 1)^{3}$ .

b) Le produit est nul si l'un des facteurs l'est.
$x - 2 = 0$ donne $x = 2$ .
$x^{2} - 4x + 1 = 0$ a pour discriminant $16 - 4 = 12$ , d'où $x = 2 \pm \sqrt{3}$ .
Il y a donc trois valeurs : $2 - \sqrt{3}$ , 2 et $2 + \sqrt{3}$ .
2
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{x^{2} - 6x}$ .
a) Calcule $f'(x)$ .
b) Étudie le signe de $f'$ et donne les variations de $f$ .
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a) On applique $(e^{u})' = u'e^{u}$ avec $u = x^{2} - 6x$ et $u' = 2x - 6$ .
$f'(x) = (2x - 6)e^{x^{2} - 6x}$ .

b) L'exponentielle est toujours strictement positive.
Le signe de $f'$ est donc celui de $2x - 6$ .
Elle est négative pour $x < 3$ et positive pour $x > 3$ .
$f$ est décroissante sur $]-\infty \,;\, 3]$ puis croissante sur $[3 \,;\, +\infty[$ .
Son minimum vaut $f(3) = e^{-9}$ .
3
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \ln(4x^{2} + 5)$ .
a) Calcule $f'(x)$ .
b) Justifie que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$ et donne son minimum.
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4
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\,e^{-2x}$ .
a) Calcule $f'(x)$ .
b) Calcule $f''(x)$ et détermine le point d'inflexion.
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5
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{3} - 9x^{2} + 4$ .
a) Calcule $f''(x)$ et étudie la convexité de $f$ .
b) Donne les coordonnées du point d'inflexion.
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6
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{4} - 12x^{2}$ .
a) Calcule $f''(x)$ et détermine les intervalles de convexité et de concavité.
b) Donne les points d'inflexion.
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7
Soit $f$ définie sur $]0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = x\ln x$ .
a) Calcule $f'(x)$ et $f''(x)$ .
b) Étudie la convexité de $f$ et donne son minimum.
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8
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x + 1)e^{x}$ .
a) Calcule $f'(x)$ et $f''(x)$ .
b) Étudie la convexité de $f$ .
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9
Soit $f$ définie sur $]-1 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = \frac{2x}{x + 1}$ .
a) Calcule $f'(x)$ .
b) Calcule $f''(x)$ et étudie la convexité.
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10
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{-x^{2}}$ .
a) Calcule $f'(x)$ et $f''(x)$ .
b) Détermine les abscisses des points d'inflexion.
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