Compléments sur la dérivation et convexité

🟠 Difficile

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1
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \ln(4x^{2} + 5)$ .
a) Calcule $f'(x)$ .
b) Justifie que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$ et donne son minimum.
Voir le corrigéoffert
a) On applique $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ avec $u = 4x^{2} + 5$ et $u' = 8x$ .
$f'(x) = \frac{8x}{4x^{2} + 5}$ .

b) $4x^{2} + 5 \ge 5 > 0$ pour tout réel $x$ : le logarithme est toujours défini.
Le dénominateur de $f'$ est positif, donc $f'$ est du signe de $8x$ .
$f$ décroît sur $]-\infty \,;\, 0]$ puis croît : son minimum est $f(0) = \ln 5$ .
2
Soit $f$ définie sur $]-1 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = \frac{2x}{x + 1}$ .
a) Calcule $f'(x)$ .
b) Calcule $f''(x)$ et étudie la convexité.
Voir le corrigéoffert
a) Formule du quotient avec $u = 2x$ et $v = x + 1$ .
$f'(x) = \frac{2(x+1) - 2x}{(x+1)^{2}} = \frac{2}{(x+1)^{2}}$ .

b) On écrit $f'(x) = 2(x+1)^{-2}$ .
$f''(x) = 2 \times (-2)(x+1)^{-3} = \frac{-4}{(x+1)^{3}}$ .
Sur $]-1 \,;\, +\infty[$ , on a $(x+1)^{3} > 0$ , donc $f''(x) < 0$ .
$f$ est concave sur tout cet intervalle, sans point d'inflexion.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Soit $f$ définie sur $]0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = x\ln x$ .
a) Calcule $f'(x)$ et $f''(x)$ .
b) Étudie la convexité de $f$ et donne son minimum.
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4
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\,e^{-2x}$ .
a) Calcule $f'(x)$ .
b) Calcule $f''(x)$ et détermine le point d'inflexion.
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5
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{-x^{2}}$ .
a) Calcule $f'(x)$ et $f''(x)$ .
b) Détermine les abscisses des points d'inflexion.
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6
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x + 1)e^{x}$ .
a) Calcule $f'(x)$ et $f''(x)$ .
b) Étudie la convexité de $f$ .
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7
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{4} - 12x^{2}$ .
a) Calcule $f''(x)$ et détermine les intervalles de convexité et de concavité.
b) Donne les points d'inflexion.
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8
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{x^{2} - 6x}$ .
a) Calcule $f'(x)$ .
b) Étudie le signe de $f'$ et donne les variations de $f$ .
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9
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{3} - 9x^{2} + 4$ .
a) Calcule $f''(x)$ et étudie la convexité de $f$ .
b) Donne les coordonnées du point d'inflexion.
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10
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^{2} - 4x + 1)^{4}$ .
a) Calcule $f'(x)$ .
b) Détermine les valeurs de $x$ pour lesquelles $f'(x) = 0$ .
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