Compléments sur la dérivation et convexité

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1
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x e^{-x}$ . Calculer f′(x) puis f″(x).
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Étape 1 : dérivée d'un produit, $f = x \times e^{-x}$ . On pose $a(x) = x$ et $b(x) = e^{-x}$ , avec $a' = 1$ et $b' = -e^{-x}$ .
$f'(x) = a'b + ab' = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$ .
Étape 2 : on dérive $f'(x) = (1 - x) e^{-x}$ , à nouveau un produit.
$f''(x) = (-1) e^{-x} + (1 - x)(-e^{-x}) = e^{-x}[-1 - (1 - x)] = e^{-x}(x - 2)$ .
Donc $f''(x) = (x - 2) e^{-x}$ .
2
Dériver la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = \sqrt{x^{2} + 1}$ .
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Composée $\sqrt{u}$ avec $u(x) = x^{2} + 1$ , strictement positif sur ℝ.
Étape 1 : $u'(x) = 2x$ .
Étape 2 : $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{(2\sqrt{u})}$ .
Donc $f'(x) = \frac{2x}{(2\sqrt{x^{2} + 1})}$ .
Étape 3 : on simplifie le facteur 2 en haut et en bas : $f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .
3
Dériver la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = \ln (3x^{2} + 2)$ .
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4
Dériver la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = e^{x^{2} - 4x}$ .
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5
Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f définie par $f(x) = e^{2x}$ au point d'abscisse 0.
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6
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = e^{-x^{2}}$ . Vérifier que $f'(x) = -2x e^{-x^{2}}$ , calculer f″(x) et déterminer les abscisses des points d'inflexion.
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7
Dériver la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = (x^{2} - 3x + 1)^{5}$ .
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8
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = \ln (x^{2} + 1)$ . Montrer que f est convexe sur $[-1 \,;\, 1]$ et déterminer les abscisses de ses points d'inflexion.
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9
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 5$ . Étudier la convexité de f et déterminer les coordonnées de son point d'inflexion.
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10
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{4} - 6x^{2}$ . Déterminer les intervalles de convexité et de concavité, ainsi que les points d'inflexion.
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