Compléments sur la dérivation et convexité
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Dériver la fonction f définie sur ℝ par f(x) = (x² − 3x + 1)⁵.
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On a f = u⁵ avec u(x) = x² − 3x + 1.
Étape 1 : u′(x) = 2x − 3.
Étape 2 : (uⁿ)′ = n u′ u^(n−1) avec n = 5.
Donc f′(x) = 5 (2x − 3)(x² − 3x + 1)⁴.
On laisse le résultat sous forme factorisée, c'est la forme attendue. - 2
Dériver la fonction f définie sur ℝ par f(x) = e^(x² − 4x).
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Composée avec u(x) = x² − 4x.
Étape 1 : u′(x) = 2x − 4.
Étape 2 : ()′ = u′ .
Donc f′(x) = (2x − 4) e^(x² − 4x).
On peut aussi factoriser : f′(x) = 2(x − 2) e^(x² − 4x). - 3
Dériver la fonction f définie sur ℝ par f(x) = ln(3x² + 2).
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Soit f définie sur ℝ par f(x) = x e^(−x). Calculer f′(x) puis f″(x).
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Soit f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 6x² + 5. Étudier la convexité de f et déterminer les coordonnées de son point d'inflexion.
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Soit f définie sur ℝ par f(x) = x⁴ − 6x². Déterminer les intervalles de convexité et de concavité, ainsi que les points d'inflexion.
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Dériver la fonction f définie sur ℝ par f(x) = √(x² + 1).
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Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f définie par f(x) = e^(2x) au point d'abscisse 0.
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Soit f définie sur ℝ par f(x) = e^(−x²). Vérifier que f′(x) = −2x e^(−x²), calculer f″(x) et déterminer les abscisses des points d'inflexion.
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Soit f définie sur ℝ par f(x) = ln(x² + 1). Montrer que f est convexe sur [−1 ; 1] et déterminer les abscisses de ses points d'inflexion.
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