Compléments sur la dérivation et convexité

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1
Dériver la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = \cos (5x)$ .
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On utilise la formule $(\cos (ax + b))' = -a \sin (ax + b)$ , ici avec $a = 5$ et $b = 0$ .
Donc $f'(x) = -5 \sin (5x)$ .
Attention au signe moins qui apparaît toujours en dérivant un cosinus, et au facteur 5 (le coefficient devant x).
2
La fonction f définie sur $]0 \,;\, +\infty [$ par $f(x) = \ln (x)$ est-elle convexe ou concave ? Justifier avec f″.
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Étape 1 : $f'(x) = \frac{1}{x}$ .
Étape 2 : on dérive f′. Comme $\frac{1}{x} = x^{-1}$ , on obtient $f''(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}$ .
Étape 3 : pour tout $x > 0$ , $x^{2} > 0$ donc $f''(x) = -\frac{1}{x^{2}} < 0$ .
Donc f est concave sur $]0 \,;\, +\infty [$ . La courbe du logarithme est bien située au-dessous de ses tangentes.
3
Calculer la dérivée seconde f″ de la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = x^{3} + 2x^{2} - 5x + 1$ .
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4
Dériver la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = e^{-x^{2}}$ .
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5
Calculer la dérivée seconde f″ de la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = x^{4} - 3x^{2}$ .
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6
La fonction f définie sur ℝ par $f(x) = x^{2}$ est-elle convexe ou concave ? Justifier en utilisant la dérivée seconde.
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7
Dériver la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = \ln (x^{2} + 1)$ .
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8
Dériver la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = e^{3x - 2}$ .
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9
Dériver la fonction f définie sur ] $-\frac{1}{4}$ ; $+\infty$ [ par $f(x) = \sqrt{4x + 1}$ .
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10
Dériver la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = (2x + 5)^{4}$ .
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