Compléments sur la dérivation et convexité

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1
Soit f définie sur ℝ par f(x) = (x² + 1) e^(−x).
a) Montrer que f′(x) = −(x − 1)² e^(−x).
b) Calculer f″(x) et la factoriser.
c) En déduire les intervalles de convexité et les coordonnées des points d'inflexion.
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a) On dérive le produit (x² + 1) × e^(−x). La dérivée de x² + 1 est 2x, celle de e^(−x) est −e^(−x).
f′(x) = 2x e^(−x) + (x² + 1)(−e^(−x)) = e^(−x)[2x − x² − 1] = e^(−x)(−x² + 2x − 1).
Or −x² + 2x − 1 = −(x² − 2x + 1) = −(x − 1)².
Donc f′(x) = −(x − 1)² e^(−x).

b) On dérive f′(x) = −(x − 1)² e^(−x), produit de −(x − 1)² et e^(−x). La dérivée de −(x − 1)² est −2(x − 1).
f″(x) = −2(x − 1) e^(−x) + [−(x − 1)²](−e^(−x)) = e^(−x)[−2(x − 1) + (x − 1)²].
On factorise par (x − 1) : f″(x) = e^(−x)(x − 1)[−2 + (x − 1)] = e^(−x)(x − 1)(x − 3).

c) Comme e^(−x) > 0, le signe de f″ est celui du produit (x − 1)(x − 3), qui a pour racines 1 et 3.
Pour x < 1 : les deux facteurs sont négatifs, produit > 0 → f″ > 0 → convexe.
Pour 1 < x < 3 : un facteur positif et un négatif, produit < 0 → f″ < 0 → concave.
Pour x > 3 : les deux facteurs positifs, produit > 0 → f″ > 0 → convexe.
Donc f est convexe sur ]−∞ ; 1] et sur $\begin{pmatrix} 3 \\ +\infty [, & concave & sur & [1 \\ 3 \end{pmatrix}$ .
f″ change de signe en 1 et en 3 : deux points d'inflexion. f(1) = 2 e^(−1) = $\frac{2}{e}$ et f(3) = 10 e^(−3) = $\frac{10}{e^{3}}$ .
Les points d'inflexion sont (1 ; $\frac{2}{e}$ ) et (3 ; $\frac{10}{e^{3}}$ ).
2
On considère la fonction exp définie sur ℝ par f(x) = $e^{x}$ .
a) Montrer que f est convexe sur ℝ.
b) Déterminer une équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 0.
c) En déduire que, pour tout réel x, $e^{x}$ ≥ x + 1.
d) En posant x = ln(1 + t), montrer que pour tout t > −1, on a ln(1 + t) ≤ t.
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a) f′(x) = $e^{x}$ puis f″(x) = $e^{x}$ . Pour tout x, $e^{x}$ > 0 donc f″(x) > 0 : f est convexe sur ℝ.

b) f(0) = $e^{0}$ = 1 et f′(0) = $e^{0}$ = 1. La tangente au point d'abscisse 0 a pour équation y = 1 × (x − 0) + 1, soit y = x + 1.

c) Une fonction convexe a sa courbe située au-dessus de chacune de ses tangentes. La courbe de f est donc au-dessus de la tangente y = x + 1, ce qui s'écrit $e^{x}$ ≥ x + 1 pour tout réel x.

d) L'inégalité $e^{x}$ ≥ x + 1 est valable pour tout réel. Posons x = ln(1 + t), possible dès que 1 + t > 0, c'est-à-dire t > −1.
Alors $e^{x}$ = e^(ln(1 + t)) = 1 + t, et l'inégalité devient 1 + t ≥ ln(1 + t) + 1.
En retranchant 1 des deux côtés : t ≥ ln(1 + t), c'est-à-dire ln(1 + t) ≤ t pour tout t > −1.
3
On admet que la fonction ln est concave sur ]0 ; +∞[.
a) Rappeler ce que dit la concavité pour la corde reliant deux points de la courbe.
b) En déduire que pour tous réels a > 0 et b > 0 : ln( $\frac{(a + b)}{2}$ ) ≥ $\frac{(ln a + ln b)}{2}$ .
c) En déduire l'inégalité arithmético-géométrique : $\frac{(a + b)}{2}$ ≥ √(ab).
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4
Soit f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x ln x.
a) Calculer f′(x).
b) Calculer f″(x) et en déduire que f est convexe sur ]0 ; +∞[.
c) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.
d) En déduire que pour tout x > 0, x ln x ≥ x − 1.
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5
Soit f définie sur ℝ par f(x) = ln(1 + $e^{x}$ ).
a) Calculer f′(x) et montrer que 0 < f′(x) < 1 pour tout réel x.
b) Calculer f″(x).
c) En déduire que f est convexe sur ℝ.
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6
Soit f définie sur ℝ par f(x) = e^(√(x² + 1)).
a) Calculer f′(x).
b) Calculer f′(0).
c) Étudier le signe de f′(x) et en déduire le minimum de f sur ℝ.
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7
Soit f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x² + 2x.
a) Calculer f′(x) et f″(x).
b) Déterminer les coordonnées du point d'inflexion I de la courbe.
c) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe en I.
d) Étudier le signe de f(x) − (−x + 1) et en déduire que la courbe traverse sa tangente T en I.
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8
On considère la fonction f définie sur [0 ; π] par f(x) = sin x.
a) Montrer que f est concave sur [0 ; π].
b) Déterminer l'équation de la corde reliant les points de la courbe d'abscisses 0 et $\frac{\pi }{2}$ .
c) En déduire que pour tout x de [0 ; $\frac{\pi }{2}$ ], sin x ≥ $\frac{2}{\pi }$ x.
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9
Soit f définie sur ℝ par f(x) = $\frac{x}{(x^{2} + 1)}$ .
a) Calculer f′(x).
b) Montrer que f″(x) = $\frac{2x(x^{2} - 3)}{(x^{2} + 1)^{3}}$ .
c) Déterminer les abscisses des points d'inflexion de la courbe.
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10
Soit a un réel et f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x³ + a x² + x.
a) Calculer f″(x) en fonction de a.
b) Montrer que la courbe admet un unique point d'inflexion et donner son abscisse en fonction de a.
c) Déterminer la valeur de a pour laquelle ce point d'inflexion a pour abscisse 2.
d) Pour cette valeur de a, préciser les intervalles de convexité et de concavité de f.
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