Compléments sur la dérivation et convexité

a) f est le produit de x et ln x. $f'(x) = 1 \times \ln x + x \times \frac{1}{x} = \ln x + 1$.

b) f″(x) est la dérivée de $\ln x + 1$, soit $f''(x) = \frac{1}{x}$. Pour tout $x > 0$, $\frac{1}{x} > 0$ donc $f''(x) > 0$ : f est convexe sur $]0 \,;\, +\infty [$.

c) $f(1) = 1 \times \ln 1 = 0$ et $f'(1) = \ln 1 + 1 = 1$. La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation $y = 1 \times (x - 1) + 0$, soit $y = x - 1$.

d) f étant convexe, sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier au-dessus de $y = x - 1$. Donc pour tout $x > 0$, $x \ln x \ge x - 1$.
Vérification en $x = 1$ : le membre de gauche vaut 0 et celui de droite aussi : l'égalité a lieu au point de contact, ce qui est cohérent.

a) $f'(x) = \cos x$ puis $f''(x) = -\sin x$. Sur $[0 \,;\, \pi ]$, $\sin x \ge 0$, donc $f''(x) = -\sin x \le 0$. La fonction f est concave sur $[0 \,;\, \pi ]$.

b) La corde relie les points $A(0 \,;\, \sin 0) = A(0 \,;\, 0)$ et $B(\frac{\pi }{2} \,;\, \sin \frac{\pi }{2}) = B(\frac{\pi }{2} \,;\, 1)$.
La pente vaut $\frac{(1 - 0)}{(\frac{\pi }{2} - 0)} = \frac{1}{(\frac{\pi }{2})} = \frac{2}{\pi }$. Comme la corde passe par l'origine, son équation est $y = \frac{2}{\pi } x$.

c) Une fonction concave a sa courbe située au-dessus de ses cordes. Sur l'intervalle $[0 \,;\, \frac{\pi }{2}]$, la courbe de sin est donc au-dessus de la corde d'équation $y = \frac{2}{\pi } x$.
Cela s'écrit $\sin x \ge \frac{2}{\pi } x$ pour tout x de $[0 \,;\, \frac{\pi }{2}]$.
Vérification aux bornes : en $x = 0$, on a $0 \ge 0$ ; en $x = \frac{\pi }{2}$, on a $1 \ge \frac{2}{\pi } \times \frac{\pi }{2} = 1$. Les égalités aux extrémités confirment que la corde touche la courbe en A et B.