Vecteurs, droites et plans de l'espace

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(1 \,;\, 0 \,;\, 2)$, $B(3 \,;\, 2 \,;\, 4)$ et $C(0 \,;\, -1 \,;\, 1)$.
a) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
b) Les points A, B et C sont-ils alignés ?

On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ k \end{pmatrix}$.
a) Détermine $k$ pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient orthogonaux.
b) Pour cette valeur de $k$, calcule $\Vert \vec{u}\Vert$ et $\Vert \vec{v}\Vert$.

ABCDEFGH est un cube d'arête 1. On munit l'espace du repère orthonormé $\left(A \,;\, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)$.
a) Donne les coordonnées des sommets G, F et C, puis calcule la longueur de la grande diagonale AG.
b) Calcule $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BF}$, puis une mesure de l'angle entre ces deux vecteurs, arrondie au degré.

On donne $A(2 \,;\, 1 \,;\, 0)$, $B(4 \,;\, 3 \,;\, 2)$ et $C(1 \,;\, 4 \,;\, -1)$.
a) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$, puis les longueurs AB et AC.
b) Le triangle ABC est-il rectangle en A ? Calcule une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$, arrondie au dixième de degré.

On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}$.
a) Cherche des réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.
b) Que peut-on en conclure sur ces trois vecteurs ?

On donne $A(0 \,;\, 0 \,;\, 0)$, $B(2 \,;\, 0 \,;\, 0)$, $C(0 \,;\, 3 \,;\, 0)$ et $D(0 \,;\, 0 \,;\, 4)$.
a) Calcule les longueurs AB, AC et AD.
b) Montre que les arêtes issues de A sont deux à deux orthogonales, puis calcule la longueur BD.

Dans un repère orthonormé, on donne $A(1 \,;\, 2 \,;\, 3)$ et $B(5 \,;\, 0 \,;\, 1)$.
a) Calcule les coordonnées du milieu I de $[AB]$ et la longueur AB.
b) Le point $C(3 \,;\, 1 \,;\, 2)$ est-il le milieu de $[AB]$ ? Justifie de deux façons.

On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$.
a) Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$, $\Vert \vec{u}\Vert$ et $\Vert \vec{v}\Vert$.
b) Calcule une mesure de l'angle entre ces deux vecteurs, arrondie au degré.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(2 \,;\, -1 \,;\, 0)$, $B(4 \,;\, 1 \,;\, 3)$ et $C(0 \,;\, -3 \,;\, -3)$.
a) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
b) Les points A, B et C sont-ils alignés ?

On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ k \end{pmatrix}$.
a) Détermine $k$ pour que les deux vecteurs soient orthogonaux.
b) Calcule alors les deux normes.