Vecteurs, droites et plans de l'espace

🟠 Difficile

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1
On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ k \end{pmatrix}$ .
a) Détermine $k$ pour que les deux vecteurs soient orthogonaux.
b) Calcule alors les deux normes.
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a) Le produit scalaire vaut $2 \times 1 + (-1) \times 5 + 3k = 2 - 5 + 3k = 3k - 3$ .
Il est nul pour $k = 1$ .

b) $\Vert\vec{u}\Vert = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \approx 3{,}74$ .
Avec $k = 1$ : $\Vert\vec{v}\Vert = \sqrt{1 + 25 + 1} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20$ .
2
On donne $A(0 \,;\, 0 \,;\, 0)$ , $B(2 \,;\, 0 \,;\, 0)$ , $C(0 \,;\, 3 \,;\, 0)$ et $D(0 \,;\, 0 \,;\, 4)$ .
a) Calcule les longueurs AB, AC et AD.
b) Montre que les arêtes issues de A sont deux à deux orthogonales, puis calcule la longueur BD.
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a) $AB = 2$ , $AC = 3$ , $AD = 4$ (chaque point est sur un axe).

b) $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$ .
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ , $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$ , $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$ : deux à deux orthogonales.
$\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$ , donc $BD = \sqrt{4 + 0 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Dans un repère orthonormé, on donne $A(1 \,;\, 2 \,;\, 3)$ et $B(5 \,;\, 0 \,;\, 1)$ .
a) Calcule les coordonnées du milieu I de $[AB]$ et la longueur AB.
b) Le point $C(3 \,;\, 1 \,;\, 2)$ est-il le milieu de $[AB]$ ? Justifie de deux façons.
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4
On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ k \end{pmatrix}$ .
a) Détermine $k$ pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient orthogonaux.
b) Pour cette valeur de $k$ , calcule $\Vert \vec{u}\Vert$ et $\Vert \vec{v}\Vert$ .
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5
On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ , $\Vert \vec{u}\Vert$ et $\Vert \vec{v}\Vert$ .
b) Calcule une mesure de l'angle entre ces deux vecteurs, arrondie au degré.
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6
Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(1 \,;\, 0 \,;\, 2)$ , $B(3 \,;\, 2 \,;\, 4)$ et $C(0 \,;\, -1 \,;\, 1)$ .
a) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .
b) Les points A, B et C sont-ils alignés ?
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7
Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(2 \,;\, -1 \,;\, 0)$ , $B(4 \,;\, 1 \,;\, 3)$ et $C(0 \,;\, -3 \,;\, -3)$ .
a) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .
b) Les points A, B et C sont-ils alignés ?
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8
On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ , $\vec{v}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}$ .
a) Cherche des réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ .
b) Que peut-on en conclure sur ces trois vecteurs ?
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9
ABCDEFGH est un cube d'arête 1. On munit l'espace du repère orthonormé $\left(A \,;\, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)$ .
a) Donne les coordonnées des sommets G, F et C, puis calcule la longueur de la grande diagonale AG.
b) Calcule $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BF}$ , puis une mesure de l'angle entre ces deux vecteurs, arrondie au degré.
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10
On donne $A(2 \,;\, 1 \,;\, 0)$ , $B(4 \,;\, 3 \,;\, 2)$ et $C(1 \,;\, 4 \,;\, -1)$ .
a) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ , puis les longueurs AB et AC.
b) Le triangle ABC est-il rectangle en A ? Calcule une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ , arrondie au dixième de degré.
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