Vecteurs, droites et plans de l'espace

Détermine une représentation paramétrique de la droite (AB) avec $A(2 \,;\, -1 \,;\, 3)$ et $B(0 \,;\, 3 \,;\, -1)$.

Détermine le point où la droite d : $x = 1 + 2t$ ; $y = -2 + t$ ; $z = 4 - 2t$ (t réel) perce le plan d'équation $z = 0$.

On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} k \\ 4 \\ -12 \end{pmatrix}$, où k est un réel. Détermine k pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires.

Montre que les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ forment une base de l'espace.

On donne A(1 ; 2 ; 3), B(3 ; m ; 7) et C(0 ; 1 ; 1), où m est un réel. Détermine m pour que A, B et C soient alignés.

On considère les droites d1 (point A(0 ; 1 ; 2), directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$) et d2 (point B(1 ; 0 ; 0), directeur $\vec{v}\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$). Étudie leur position relative.

Détermine une équation cartésienne du plan P passant par $A(1 \,;\, 2 \,;\, -1)$ et admettant $\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ comme vecteur normal.

Les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ sont-ils coplanaires ?

Détermine les coordonnées du point d'intersection de la droite d : $x = 2 + t$ ; $y = -1 + 2t$ ; $z = 1 - t$ (t réel) avec le plan P : $2x - y + z - 7 = 0$.

On donne A(1 ; 0 ; 0), $B(2 \,;\, 1 \,;\, -1)$, C(0 ; 2 ; 1) et $D(2 \,;\, 4 \,;\, -1)$. Montre que ces quatre points sont coplanaires.