Vecteurs, droites et plans de l'espace
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On donne u→(3 ; −2 ; 6) et v→(k ; 4 ; −12), où k est un réel. Détermine k pour que u→ et v→ soient colinéaires.
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u→ et v→ sont colinéaires s'il existe un réel λ tel que v→ = λ·u→ (le même λ sur les trois coordonnées).
On utilise la cote : −12 = 6λ, donc λ = −2.
On vérifie sur l'ordonnée : λ×(−2) = (−2)×(−2) = 4 ✓ (c'est bien l'ordonnée de v→).
On en déduit l'abscisse : k = λ×3 = (−2)×3 = −6.
Donc pour k = −6, on a v→ = −2u→ : les vecteurs sont colinéaires. - 2
Les vecteurs u→(1 ; 2 ; −1), v→(2 ; −1 ; 3) et w→(4 ; 3 ; 1) sont-ils coplanaires ?
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u→ et v→ ne sont pas colinéaires (les rapports et diffèrent). Les trois vecteurs sont coplanaires si w→ s'écrit w→ = a·u→ + b·v→.
Cela donne le système :
sur x : a + 2b = 4
sur y : 2a − b = 3
sur z : −a + 3b = 1
On résout d'abord avec x et y. De la ligne x : a = 4 − 2b. On remplace dans y : 2(4 − 2b) − b = 3, soit 8 − 4b − b = 3, donc −5b = −5, donc b = 1 et a = 2.
On vérifie la troisième équation (z) : −2 + 3×1 = −2 + 3 = 1 ✓.
Le système est compatible : w→ = 2u→ + v→, donc les trois vecteurs sont coplanaires. - 3
Montre que les vecteurs u→(1 ; 0 ; 1), v→(0 ; 1 ; 1) et w→(1 ; 1 ; 0) forment une base de l'espace.
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Détermine les coordonnées du point d'intersection de la droite d : x = 2 + t ; y = −1 + 2t ; z = 1 − t (t réel) avec le plan P : 2x − y + z − 7 = 0.
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Détermine une représentation paramétrique de la droite (AB) avec A(2 ; −1 ; 3) et B(0 ; 3 ; −1).
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Détermine une équation cartésienne du plan P passant par A(1 ; 2 ; −1) et admettant n→(2 ; −3 ; 1) comme vecteur normal.
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On considère les droites d1 (point A(0 ; 1 ; 2), directeur u→(1 ; 2 ; −1)) et d2 (point B(1 ; 0 ; 0), directeur v→(−2 ; −4 ; 2)). Étudie leur position relative.
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On donne A(1 ; 0 ; 0), B(2 ; 1 ; −1), C(0 ; 2 ; 1) et D(2 ; 4 ; −1). Montre que ces quatre points sont coplanaires.
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On donne A(1 ; 2 ; 3), B(3 ; m ; 7) et C(0 ; 1 ; 1), où m est un réel. Détermine m pour que A, B et C soient alignés.
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Détermine le point où la droite d : x = 1 + 2t ; y = −2 + t ; z = 4 − 2t (t réel) perce le plan d'équation z = 0.
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