Vecteurs, droites et plans de l'espace

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1
Les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -9 \end{pmatrix}$ sont-ils colinéaires ?
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Deux vecteurs sont colinéaires si les coordonnées de l'un sont proportionnelles à celles de l'autre, avec le MÊME coefficient sur les trois.
On calcule le rapport coordonnée par coordonnée : $\frac{-3}{2}$ ; $\frac{6}{-4} = \frac{-3}{2}$ ; $\frac{-9}{6} = \frac{-3}{2}$ .
Les trois rapports valent $-\frac{3}{2}$ : c'est le même coefficient.
Donc $\vec{v} = -\frac{3}{2}\vec{u}$ : les vecteurs sont colinéaires.
2
Détermine une représentation paramétrique de la droite d passant par $A(1 \,;\, 2 \,;\, -1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ .
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Une droite passant par $A(x_A \,;\, y_A \,;\, z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique :
$x = x_A + a\cdot t$ ; $y = y_A + b\cdot t$ ; $z = z_A + c\cdot t$ .
On remplace : $A(1 \,;\, 2 \,;\, -1)$ et $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ .
Donc d : $x = 1 + 2t$ ; $y = 2 - t$ ; $z = -1 + 3t$ (t réel).
Je vérifie : pour $t = 0$ on retrouve $A(1 \,;\, 2 \,;\, -1)$ , et les coefficients de t donnent bien $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ .
3
Le plan P a pour équation cartésienne $2x - y + 3z - 5 = 0$ . Les points A(1 ; 0 ; 1) et B(2 ; 1 ; 0) appartiennent-ils à P ?
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4
On considère la droite d : $x = 2 - 3t$ ; $y = 1 + t$ ; $z = 5 + 4t$ (t réel). Donne un vecteur directeur de d et un point de d.
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5
On donne les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ . Calcule les coordonnées du vecteur $3\vec{u} - 2\vec{v}$ .
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6
Détermine les coordonnées du milieu I du segment [AB], avec $A(1 \,;\, 3 \,;\, -2)$ et $B(5 \,;\, -1 \,;\, 4)$ .
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7
On donne A(1 ; 0 ; 2), $B(3 \,;\, -2 \,;\, 5)$ et $C(-1 \,;\, 2 \,;\, -1)$ . Les points A, B et C sont-ils alignés ?
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8
On considère les points $A(2 \,;\, -1 \,;\, 4)$ et B(5 ; 1 ; 0) dans un repère de l'espace. Calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ .
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9
Une droite d a pour représentation paramétrique : $x = 1 + 2t$ ; $y = -3 + t$ ; $z = 4 - t$ (t réel). Le point $M(5 \,;\, -1 \,;\, 2)$ appartient-il à d ?
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10
On donne A(0 ; 1 ; 2), B(3 ; 0 ; 4) et C(5 ; 2 ; 1). Détermine les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
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