Vecteurs, droites et plans de l'espace
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On considère les points A(2 ; −1 ; 4) et B(5 ; 1 ; 0) dans un repère de l'espace. Calcule les coordonnées du vecteur AB→.
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On applique la règle « arrivée moins départ », coordonnée par coordonnée.
Abscisse (x) : 5 − 2 = 3.
Ordonnée (y) : 1 − (−1) = 1 + 1 = 2.
Cote (z) : 0 − 4 = −4.
Donc AB→(3 ; 2 ; −4).
Vérification : en partant de A et en ajoutant (3 ; 2 ; −4) on obtient (2+3 ; −1+2 ; 4−4) = (5 ; 1 ; 0) = B. C'est bien cohérent. - 2
On donne les vecteurs u→(1 ; −2 ; 0) et v→(2 ; 1 ; −3). Calcule les coordonnées du vecteur 3u→ − 2v→.
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On multiplie chaque vecteur par son coefficient, coordonnée par coordonnée.
3u→ = (3×1 ; 3×(−2) ; 3×0) = (3 ; −6 ; 0).
2v→ = (2×2 ; 2×1 ; 2×(−3)) = (4 ; 2 ; −6).
On soustrait ensuite : 3u→ − 2v→ = (3−4 ; −6−2 ; 0−(−6)) = (−1 ; −8 ; 6).
Attention au signe sur la cote : 0 − (−6) = 0 + 6 = 6.
Donc 3u→ − 2v→ = (−1 ; −8 ; 6). - 3
Détermine les coordonnées du milieu I du segment [AB], avec A(1 ; 3 ; −2) et B(5 ; −1 ; 4).
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Les vecteurs u→(2 ; −4 ; 6) et v→(−3 ; 6 ; −9) sont-ils colinéaires ?
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On donne A(1 ; 0 ; 2), B(3 ; −2 ; 5) et C(−1 ; 2 ; −1). Les points A, B et C sont-ils alignés ?
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On donne A(0 ; 1 ; 2), B(3 ; 0 ; 4) et C(5 ; 2 ; 1). Détermine les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
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Une droite d a pour représentation paramétrique : x = 1 + 2t ; y = −3 + t ; z = 4 − t (t réel). Le point M(5 ; −1 ; 2) appartient-il à d ?
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On considère la droite d : x = 2 − 3t ; y = 1 + t ; z = 5 + 4t (t réel). Donne un vecteur directeur de d et un point de d.
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Détermine une représentation paramétrique de la droite d passant par A(1 ; 2 ; −1) et de vecteur directeur u→(2 ; −1 ; 3).
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Le plan P a pour équation cartésienne 2x − y + 3z − 5 = 0. Les points A(1 ; 0 ; 1) et B(2 ; 1 ; 0) appartiennent-ils à P ?
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