Vecteurs, droites et plans de l'espace

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1
ABCD est un tétraèdre avec A(0 ; 0 ; 0), B(4 ; 0 ; 0), C(0 ; 4 ; 0) et D(0 ; 0 ; 4). On note G le centre de gravité du triangle BCD.
Détermine une équation cartésienne du plan (BCD), puis montre que la droite (AG) le coupe exactement en G.
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a) Le centre de gravité d'un triangle est la moyenne des coordonnées de ses trois sommets.
x : $\frac{4+0+0}{3} = \frac{4}{3}$ ; y : $\frac{0+4+0}{3} = \frac{4}{3}$ ; z : $\frac{0+0+4}{3} = \frac{4}{3}$ .
Donc $G(\frac{4}{3} \,;\, \frac{4}{3} \,;\, \frac{4}{3})$ .

b) $\overrightarrow{AG} = G - A = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} \\ \frac{4}{3} \\ \frac{4}{3} \end{pmatrix}$ . Ce vecteur est colinéaire à $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , qu'on prend comme directeur.
(AG) : $x = t$ ; $y = t$ ; $z = t$ (t réel).

c) On cherche l'équation du plan (BCD). Essayons $x + y + z = 4$ : B(4 ; 0 ; 0) donne 4, C(0 ; 4 ; 0) donne 4, D(0 ; 0 ; 4) donne 4.
Une équation est donc $x + y + z - 4 = 0$ .
On injecte la droite (AG), c'est-à-dire $x = y = z = t$ : $t + t + t - 4 = 0$ , soit $3t = 4$ , donc $t = \frac{4}{3}$ .
Le point d'intersection est $\begin{pmatrix} \frac{4}{3} \\ \frac{4}{3} \\ \frac{4}{3} \end{pmatrix} = G$ .
Ainsi (AG) coupe le plan (BCD) exactement au centre de gravité G, comme attendu.
2
On considère les plans P1 : $x + y + z - 6 = 0$ et P2 : $x - y + z - 2 = 0$ .
Le point M(1 ; 2 ; 3) appartient-il à la droite d'intersection ?
Voir le corrigéoffert
a) Un vecteur normal de P1 est $\vec{n_{1}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ (coefficients de x, y, z), et de P2 est $\vec{n_{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
Sont-ils colinéaires ? Sur x le rapport serait 1, sur y il serait $\frac{1}{-1} = -1$ : différents. Les normales ne sont pas colinéaires.
Deux plans sont parallèles si, et seulement si, leurs normales sont colinéaires ; ce n'est pas le cas, donc P1 et P2 ne sont pas parallèles : ils se coupent selon une droite.

b) On résout le système formé par les deux équations.
Soustrayons P2 de P1 : $(x + y + z - 6) - (x - y + z - 2) = 0$ , soit $2y - 4 = 0$ , donc $y = 2$ .
On reporte $y = 2$ dans P1 : $x + 2 + z - 6 = 0$ , soit $x + z = 4$ .
On choisit $z = t$ comme paramètre : $x = 4 - t$ .
La droite d'intersection est : $x = 4 - t$ ; $y = 2$ ; $z = t$ (t réel).

c) Pour M(1 ; 2 ; 3) : l'ordonnée est 2. On prend $z = t = 3$ ; alors $x = 4 - 3 = 1$ ✓ (abscisse de M). M appartient à la droite.
Vérification directe : dans P1, $1 + 2 + 3 - 6 = 0$ ✓ ; dans P2, $1 - 2 + 3 - 2 = 0$ .
3
ABCDEFGH est un cube d'arête 1 dans le repère $\begin{pmatrix} A \\ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \end{pmatrix}$ : A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1), H(0 ; 1 ; 1). On note I le milieu de [EF] et J le milieu de [GH].
Détermine le point d'intersection de (AG) et du plan (BDE), et montre que c'est le centre de gravité du triangle BDE.
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4
On considère les points A(0 ; 0 ; 0), B(2 ; 1 ; 0), C(3 ; 3 ; 1) et D(1 ; 2 ; 1).
Détermine une équation cartésienne du plan (ABC) et vérifie que D lui appartient.
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5
On donne les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ , $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix} m \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}$ , où m est un réel.
Détermine m pour que les trois vecteurs soient coplanaires, puis exprime $\vec{w}$ comme combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .
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6
Soit le plan P : $x + 2y - z - 3 = 0$ et, pour tout réel m, la droite d passant par A(0 ; 1 ; 1) et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \\ 2 \end{pmatrix}$ .
Pour $m = 1$ , détermine les coordonnées du point d'intersection de d et de P.
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7
On considère les points A(1 ; 0 ; 2), B(2 ; 2 ; 1), $C(3 \,;\, -1 \,;\, 3)$ et D(5 ; 3 ; 1).
Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires ? Justifie.
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8
ABCDEFGH est un cube d'arête 2, muni du repère orthonormé $\begin{pmatrix} A \\ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \end{pmatrix}$ tel que A(0 ; 0 ; 0), B(2 ; 0 ; 0), C(2 ; 2 ; 0), D(0 ; 2 ; 0), E(0 ; 0 ; 2), F(2 ; 0 ; 2), G(2 ; 2 ; 2) et H(0 ; 2 ; 2).
Détermine les coordonnées du point d'intersection de la droite (BH) avec le plan (ACF).
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9
On considère les points A(1 ; 0 ; 2), $B(3 \,;\, -1 \,;\, 0)$ , C(2 ; 2 ; 1) et $D(4 \,;\, 5 \,;\, -1)$ .
Le point D appartient-il au plan (ABC) ? Les points A, B, C, D sont-ils coplanaires ?
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10
On considère les droites de représentations paramétriques :
d1 : $x = 1 + t$ ; $y = 2 - t$ ; $z = -1 + 2t$ (t réel).
d2 : $x = -1 + 2s$ ; $y = 1 + s$ ; $z = -s$ (s réel).
Détermine une équation cartésienne du plan contenant d1 et d2.
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