Vecteurs, droites et plans de l'espace
🔴 Expert📝 Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres corrigés détaillés sont réservés aux abonnés.
- 1
ABCDEFGH est un cube d'arête 2, muni du repère orthonormé (A ; i→, j→, k→) tel que A(0 ; 0 ; 0), B(2 ; 0 ; 0), C(2 ; 2 ; 0), D(0 ; 2 ; 0), E(0 ; 0 ; 2), F(2 ; 0 ; 2), G(2 ; 2 ; 2) et H(0 ; 2 ; 2).
a) Détermine une équation cartésienne du plan (ACF).
b) Le point H appartient-il à ce plan ?
c) Détermine les coordonnées du point d'intersection de la droite (BH) avec le plan (ACF).✅ Voir le corrigéoffert
a) Le plan (ACF) passe par l'origine A(0 ; 0 ; 0) : son équation est de la forme ax + by + cz = 0 (pas de constante).
On impose que C et F appartiennent au plan.
C(2 ; 2 ; 0) : 2a + 2b = 0, donc a = −b.
F(2 ; 0 ; 2) : 2a + 2c = 0, donc a = −c.
On choisit a = 1 ; alors b = −1 et c = −1.
Une équation du plan (ACF) est : x − y − z = 0.
Vérification : A donne 0 ✓, C donne 2 − 2 − 0 = 0 ✓, F donne 2 − 0 − 2 = 0 ✓.
b) On remplace H(0 ; 2 ; 2) dans x − y − z : 0 − 2 − 2 = −4.
Comme −4 ≠ 0, le point H n'appartient pas au plan (ACF).
c) On écrit d'abord la droite (BH). BH→ = (0−2 ; 2−0 ; 2−0) = (−2 ; 2 ; 2), et B(2 ; 0 ; 0) :
(BH) : x = 2 − 2t ; y = 2t ; z = 2t (t réel).
On injecte dans l'équation x − y − z = 0 :
(2 − 2t) − 2t − 2t = 0, soit 2 − 6t = 0, donc t = = .
On remplace t = : x = 2 − = ; y = ; z = .
Le point d'intersection est ( ; ; ).
Vérification : − − = 0 ✓. - 2
On considère les points A(1 ; 0 ; 2), B(3 ; −1 ; 0), C(2 ; 2 ; 1) et D(4 ; 5 ; −1).
a) Montre que les points A, B et C ne sont pas alignés.
b) Détermine une équation cartésienne du plan (ABC).
c) Le point D appartient-il au plan (ABC) ? Les points A, B, C, D sont-ils coplanaires ?✅ Voir le corrigéoffert
a) AB→ = (2 ; −1 ; −2) et AC→ = (1 ; 2 ; −1).
Ces vecteurs sont-ils colinéaires ? Le rapport sur x serait = 2, mais sur y il serait . Les rapports diffèrent : AB→ et AC→ ne sont pas colinéaires.
Donc A, B, C ne sont pas alignés : ils définissent un plan.
b) On cherche une équation ax + by + cz + d = 0 vérifiée par A, B, C.
A(1 ; 0 ; 2) : a + 2c + d = 0
B(3 ; −1 ; 0) : 3a − b + d = 0
C(2 ; 2 ; 1) : 2a + 2b + c + d = 0
De la première : d = −a − 2c.
Dans la deuxième : 3a − b − a − 2c = 0, soit 2a − b − 2c = 0, donc b = 2a − 2c.
Dans la troisième : 2a + 2b + c − a − 2c = 0, soit a + 2b − c = 0. En remplaçant b : a + 2(2a − 2c) − c = 0, soit 5a − 5c = 0, donc a = c.
Alors b = 2a − 2a = 0 et d = −a − 2a = −3a. On choisit a = 1 : c = 1, b = 0, d = −3.
Une équation du plan (ABC) est : x + z − 3 = 0.
Vérification : B donne 3 + 0 − 3 = 0 ✓, C donne 2 + 1 − 3 = 0 ✓.
c) On teste D(4 ; 5 ; −1) : 4 + (−1) − 3 = 0.
On obtient 0 : D appartient au plan (ABC).
Donc les quatre points A, B, C, D sont coplanaires. - 3
On considère les droites de représentations paramétriques :
d1 : x = 1 + t ; y = 2 − t ; z = −1 + 2t (t réel).
d2 : x = −1 + 2s ; y = 1 + s ; z = −s (s réel).
a) Ces droites sont-elles parallèles ?
b) Montre qu'elles sont sécantes et détermine les coordonnées de leur point d'intersection.
c) Détermine une équation cartésienne du plan contenant d1 et d2.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
On donne les vecteurs u→(1 ; −1 ; 2), v→(2 ; 0 ; −1) et w→(m ; −2 ; 5), où m est un réel.
a) Montre que u→ et v→ ne sont pas colinéaires.
b) Détermine la valeur de m pour laquelle u→, v→ et w→ sont coplanaires.
c) Pour cette valeur de m, exprime w→ comme combinaison linéaire de u→ et v→.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
ABCD est un tétraèdre avec A(0 ; 0 ; 0), B(4 ; 0 ; 0), C(0 ; 4 ; 0) et D(0 ; 0 ; 4). On note G le centre de gravité du triangle BCD.
a) Détermine les coordonnées de G.
b) Détermine une représentation paramétrique de la droite (AG).
c) Détermine une équation cartésienne du plan (BCD), puis vérifie que la droite (AG) coupe ce plan exactement en G.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
On considère les plans P1 : x + y + z − 6 = 0 et P2 : x − y + z − 2 = 0.
a) Justifie que P1 et P2 ne sont pas parallèles.
b) Détermine une représentation paramétrique de leur droite d'intersection.
c) Le point M(1 ; 2 ; 3) appartient-il à cette droite ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
On considère les points A(0 ; 0 ; 0), B(2 ; 1 ; 0), C(3 ; 3 ; 1) et D(1 ; 2 ; 1).
a) Montre que ABCD est un parallélogramme.
b) Détermine les coordonnées du centre du parallélogramme de deux façons (milieu de [AC] et milieu de [BD]).
c) Détermine une équation cartésienne du plan (ABC) et vérifie que D lui appartient.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
Soit le plan P : x + 2y − z − 3 = 0 et, pour tout réel m, la droite d passant par A(0 ; 1 ; 1) et de vecteur directeur u→(1 ; m ; 2).
a) Écris une représentation paramétrique de d, puis, en l'injectant dans l'équation de P, montre qu'on obtient une équation de la forme (2m − 1)t − 2 = 0.
b) Pour quelle valeur de m la droite d est-elle parallèle au plan P (sans point commun) ?
c) Pour m = 1, détermine les coordonnées du point d'intersection de d et de P.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
On considère les points A(1 ; 0 ; 2), B(2 ; 2 ; 1), C(3 ; −1 ; 3) et D(5 ; 3 ; 1).
a) Calcule les coordonnées des vecteurs AB→, AC→ et AD→, et montre que AB→ et AC→ ne sont pas colinéaires.
b) Détermine deux réels a et b tels que AD→ = a·AB→ + b·AC→.
c) Qu'en déduis-tu pour les points A, B, C et D ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
ABCDEFGH est un cube d'arête 1 dans le repère (A ; i→, j→, k→) : A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1), H(0 ; 1 ; 1). On note I le milieu de [EF] et J le milieu de [GH].
a) Détermine les coordonnées de I et J, puis montre que la droite (IJ) est parallèle à la droite (BC).
b) Détermine une équation cartésienne du plan (BDE) et une représentation paramétrique de la droite (AG).
c) Détermine le point d'intersection de (AG) et du plan (BDE), et montre que c'est le centre de gravité du triangle BDE.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
Comment ça s'est passé ?
Retrouve tout dans Mon suivi.