Limites de fonctions

🟠 Difficile

📝 Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres corrigés détaillés sont réservés aux abonnés.

S'abonner ✨

1
Soit $f(x) = \frac{4x^{2} + 3}{x^{2} - 1}$ .
a) Détermine $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .
b) Donne l'équation de l'asymptote horizontale et précise la position de la courbe par rapport à elle.
✅ Voir le corrigéoffert
a) On factorise par $x^{2}$ en haut et en bas.
$f(x) = \frac{x^{2}\left(4 + \frac{3}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)} = \frac{4 + \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ .
Quand $x \to +\infty$ , les termes correctifs tendent vers 0.
Donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 4$ .

b) La droite d'équation $y = 4$ est asymptote horizontale.
$f(x) - 4 = \frac{4x^{2} + 3 - 4(x^{2} - 1)}{x^{2} - 1} = \frac{7}{x^{2} - 1}$ .
Pour $x > 1$ , cette différence est positive : la courbe est au-dessus de l'asymptote.
2
Soit $f(x) = x^{3} - 5x^{2} + 2$ .
a) Détermine $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ .
b) Justifie que le terme de plus haut degré impose le comportement.
✅ Voir le corrigéoffert
a) On factorise par $x^{3}$ : $f(x) = x^{3}\left(1 - \frac{5}{x} + \frac{2}{x^{3}}\right)$ .
La parenthèse tend vers 1 dans les deux cas.
En $+\infty$ : $x^{3} \to +\infty$ , donc $\lim f(x) = +\infty$ .
En $-\infty$ : $x^{3} \to -\infty$ , donc $\lim f(x) = -\infty$ .

b) Les termes $\frac{5}{x}$ et $\frac{2}{x^{3}}$ deviennent négligeables devant 1.
Seul $x^{3}$ pilote alors le comportement.
C'est une règle générale : à l'infini, un polynôme se comporte comme son terme dominant.
3
Soit $f(x) = \frac{3x + 5}{x^{2} + 2}$ .
a) Détermine $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .
b) Compare avec la limite de $g(x) = \frac{3x^{2} + 5}{x + 2}$ et explique la différence.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
4
Soit $f(x) = \frac{7x - 4}{2x + 3}$ .
a) Détermine les limites en $+\infty$ et en $-\infty$ .
b) Détermine la limite quand $x$ tend vers $-1{,}5$ par valeurs supérieures.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
5
Soit $f(x) = \frac{x^{2} + 4}{x - 2}$ .
a) Détermine $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .
b) Détermine les limites en 2 à gauche et à droite.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
6
Soit $f(x) = -3x^{4} + 2x^{2} - 7$ .
a) Détermine les limites en $+\infty$ et $-\infty$ .
b) Explique pourquoi les deux limites sont identiques.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
7
Soit $f(x) = \sqrt{x^{2} + 3x} - x$ , définie pour $x > 0$ .
a) Montre que $f(x) = \frac{3x}{\sqrt{x^{2} + 3x} + x}$ .
b) Détermine $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
8
Soit $f(x) = \frac{5}{x - 3} + 2$ .
a) Détermine la limite en $+\infty$ et l'asymptote horizontale.
b) Détermine les limites en 3 à gauche et à droite.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
9
Soit $f(x) = \frac{2x^{2} - 8}{x - 2}$ , définie pour $x \neq 2$ .
a) Simplifie $f(x)$ .
b) Détermine $\lim_{x \to 2} f(x)$ et interprète.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
10
Soit $f(x) = \frac{-4x + 1}{x + 5}$ .
a) Détermine la limite en $-\infty$ et l'asymptote horizontale.
b) Détermine la limite quand $x \to -5^{-}$ (par valeurs inférieures).
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →

Comment ça s'est passé ?

Retrouve tout dans Mon suivi.

🎯 Et maintenant ?

Niveau ExpertContinue à t'entraîner

Ou au choix

Revoir le coursLa fiche de leçon Fiche interactiveL'atelier à faire en ligne Examen du chapitreTeste-toi, noté /20 Annales du BacSujets d'examen corrigés Chapitre suivant : Compléments sur la dérivation et convexitéOn continue le programme

← Changer de niveau