Limites de fonctions

a) En $+\infty$ : $x^{3} \to +\infty$ et $2e^{x} \to +\infty$, donc $x^{3} - 2e^{x}$ est de la forme « $+\infty - \infty$ » : forme indéterminée.

b) On factorise par eˣ (le terme qui l'emporte) : $x^{3} - 2e^{x} = e^{x}(\frac{x^{3}}{e^{x}} - 2)$.
Par croissance comparée, $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^{3}}{e^{x}} = 0$, donc la parenthèse $\to 0 - 2 = -2$.
Comme $e^{x} \to +\infty$, le produit $(+\infty ) \times (-2) = -\infty$.
Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} (x^{3} - 2e^{x}) = -\infty$.

c) En $-\infty$ : $x^{3} \to -\infty$ (puissance impaire) et $e^{x} \to 0$, donc $2e^{x} \to 0$. Il n'y a aucune indétermination : $x^{3} - 2e^{x} \to -\infty - 0 = -\infty$.
Donc $\lim\limits_{x \to -\infty} (x^{3} - 2e^{x}) = -\infty$.

a) $C(0) = \frac{5\times 0}{(0 + 2)} = \frac{0}{2} = 0$. À l'instant initial $(t = 0)$, la concentration est nulle : le médicament n'agit pas encore.

b) Forme « ∞ sur ∞ ». On factorise par t : numérateur $5t = t\times 5$ ; dénominateur $t + 2 = t(1 + \frac{2}{t})$. Après simplification par t, on obtient $\frac{5}{(1 + \frac{2}{t})}$.
Quand $t \to +\infty$, $\frac{2}{t} \to 0$, donc $C(t) \to \frac{5}{1} = 5$.
$\lim\limits_{t \to +\infty} C(t) = 5$ : la concentration se stabilise vers 5 mg/L. Graphiquement, la droite $y = 5$ est asymptote horizontale : c'est un palier que la concentration ne dépasse jamais.

c) On résout $C(t) = 4$ : $\frac{5t}{(t + 2)} = 4$. Comme $t + 2 > 0$, on multiplie les deux membres par $(t + 2)$ : $5t = 4(t + 2) = 4t + 8$. Donc $5t - 4t = 8$, soit $t = 8$.
Interprétation : la concentration atteint 4 mg/L au bout de 8 heures. Vérification : $C(8) = \frac{5\times 8}{(8 + 2)} = \frac{40}{10} = 4$, la valeur est bien atteinte.