Limites de fonctions

a) Le dénominateur x² − 1 s'annule pour x² = 1, soit x = 1 ou x = −1. L'ensemble de définition est donc l'ensemble des réels privé de −1 et de 1.
Simplification utile : le numérateur se factorise. 3x² + 2x − 5 = (x − 1)(3x + 5) (on vérifie : (x−1)(3x+5) = 3x² + 5x − 3x − 5 = 3x² + 2x − 5). De plus x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Donc, pour x ≠ 1 et x ≠ −1 : f(x) = $\frac{(3x + 5)}{(x + 1)}$.

b) On travaille sur la forme simplifiée. Numérateur : 3x + 5 = x(3 + $\frac{5}{x}$). Dénominateur : x + 1 = x(1 + $\frac{1}{x}$). Après simplification par x, on obtient le quotient de (3 + $\frac{5}{x}$) par (1 + $\frac{1}{x}$).
En +∞ comme en −∞, $\frac{5}{x}$ → 0 et $\frac{1}{x}$ → 0, donc f(x) → $\frac{3}{1}$ = 3.
Ainsi lim x→+∞ f(x) = 3 et lim x→−∞ f(x) = 3 : la droite y = 3 est asymptote horizontale en +∞ et en −∞.

c) En x = 1 : la forme simplifiée f(x) = $\frac{(3x + 5)}{(x + 1)}$ n'annule pas son dénominateur (1 + 1 = 2). On calcule directement : $\frac{(3\times 1 + 5)}{(1 + 1)}$ = $\frac{8}{2}$ = 4. La limite en 1 est finie (égale à 4) : il n'y a PAS d'asymptote verticale en 1 (la courbe présente seulement un « trou », x = 1 restant une valeur interdite).
En x = −1 : le numérateur 3x + 5 → 3×(−1) + 5 = 2 (positif), et le dénominateur x + 1 → 0. On étudie le signe :
– quand x → −1⁺ (x > −1), x + 1 → 0⁺, donc f(x) → +∞ ;
– quand x → −1⁻ (x < −1), x + 1 → 0⁻, donc f(x) → −∞.
La droite x = −1 est donc asymptote verticale.
Morale : une valeur qui annule le dénominateur ne donne pas toujours une asymptote verticale ; il faut vérifier si le numérateur s'annule aussi.

a) Quand x → +∞ : x² + x → +∞ donc √(x² + x) → +∞, et x → +∞. On obtient « +∞ − ∞ », une forme indéterminée : on ne peut pas conclure directement.

b) On multiplie et divise par la quantité conjuguée √(x² + x) + x (non nulle pour x > 0) :
f(x) = $\frac{((\sqrt{x^{2} + x} - x)(\sqrt{x^{2} + x} + x))}{(\sqrt{x^{2} + x} + x)}$.
Le numérateur est une identité remarquable : (√(x² + x))² − x² = (x² + x) − x² = x.
Donc f(x) = $\frac{x}{(\sqrt{x^{2} + x} + x)}$.

c) On factorise par x. Pour x > 0 : √(x² + x) = √(x²(1 + $\frac{1}{x}$)) = x√(1 + $\frac{1}{x}$), car √(x²) = x quand x > 0. Donc √(x² + x) + x = x(√(1 + $\frac{1}{x}$) + 1).
Ainsi f(x) = $\frac{1}{(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1)}$.
Quand x → +∞, $\frac{1}{x}$ → 0, donc √(1 + $\frac{1}{x}$) → √1 = 1, et le dénominateur → 1 + 1 = 2.
Donc lim x→+∞ f(x) = $\frac{1}{2}$.
Vérification numérique : pour x = 100, √10100 − 100 ≈ 100,499 − 100 = 0,499 ≈ 0,5 : c'est cohérent.