Limites de fonctions
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Détermine lim x→+∞ x⁴ puis lim x→−∞ x⁴.
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On utilise les limites de référence des puissances.
Étape 1 : en +∞, pour tout entier n ≥ 1, lim x→+∞ xⁿ = +∞. Donc lim x→+∞ x⁴ = +∞.
Étape 2 : en −∞, xⁿ tend vers +∞ si n est pair, vers −∞ si n est impair. Ici n = 4 est pair, donc lim x→−∞ x⁴ = +∞.
Pourquoi : élever à une puissance paire un nombre très grand en valeur absolue donne toujours un très grand nombre positif. Par exemple (−1000)⁴ = 10¹² > 0.
Conclusion : les deux limites valent +∞. - 2
Détermine lim x→−∞ x⁵.
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L'exposant n = 5 est un entier impair.
Règle : lim x→−∞ xⁿ = −∞ lorsque n est impair.
Donc lim x→−∞ x⁵ = −∞.
Vérification par le signe : (−10)⁵ = −100000, puis (−100)⁵ = −10¹⁰ ; plus x devient grand négatif, plus x⁵ devient grand négatif. La limite est bien −∞. - 3
On pose f(x) = 2 − . Détermine lim x→+∞ f(x) et donne l'asymptote éventuelle.
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Détermine lim x→+∞ et lim x→−∞ .
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Détermine lim x→+∞ eˣ et lim x→−∞ eˣ. Y a-t-il une asymptote horizontale ?
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Détermine lim x→+∞ (√x + 3).
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Détermine lim x→0⁺ et lim x→0⁻ , puis conclus sur l'asymptote verticale.
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Détermine lim x→4⁺ et lim x→4⁻ .
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Détermine lim x→+∞ (x³ + 2x).
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On sait que lim x→+∞ f(x) = −3. Que peut-on dire de la courbe de f en +∞ ?
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