Limites de fonctions

C'est une forme indéterminée du type « +∞ − ∞ » (x² → +∞ et −3x → −∞).
Méthode : on factorise par le terme de plus haut degré, x².
x² − 3x + 1 = x²(1 − $\frac{3}{x}$ + $\frac{1}{x^{2}}$).
Étape 1 : quand x → +∞, $\frac{3}{x}$ → 0 et $\frac{1}{x^{2}}$ → 0, donc la parenthèse tend vers 1 − 0 + 0 = 1.
Étape 2 : x² → +∞. Le produit (+∞) × 1 = +∞.
Donc lim x→+∞ (x² − 3x + 1) = +∞.
Remarque : pour un polynôme, la limite en l'infini est celle de son terme de plus haut degré.

Forme indéterminée. On factorise par le terme dominant x³.
−2x³ + 5x − 1 = x³(−2 + $\frac{5}{x^{2}}$ − $\frac{1}{x^{3}}$).
Étape 1 : quand x → −∞, $\frac{5}{x^{2}}$ → 0 et $\frac{1}{x^{3}}$ → 0, donc la parenthèse tend vers −2.
Étape 2 : x³ → −∞ (puissance impaire). Le produit (−∞) × (−2) = +∞.
Donc lim x→−∞ (−2x³ + 5x − 1) = +∞.
Vérification du signe : pour x = −1000, le terme −2x³ = −2 × (−10⁹) = +2 × 10⁹, un très grand positif : c'est cohérent.