Limites de fonctions

Ce sont des croissances comparées : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x.
Règle 1 : pour tout entier n, $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{e^{x}}{x^{n}} = +\infty$. Avec $n = 2$ : $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{e^{x}}{x^{2}} = +\infty$.
Règle 2 : $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^{n}}{e^{x}} = 0$. Avec $n = 1$ : $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x}} = 0$.
Pourquoi : eˣ croît beaucoup plus vite que $x^{2}$, donc le quotient $\frac{e^{x}}{x^{2}}$ devient immense, et son inverse $\frac{x}{e^{x}}$ s'écrase vers 0.

Forme indéterminée « $-\infty \times 0$ » (x → −∞ et $e^{x} \to 0$).
Méthode : on pose $X = -x$, donc $X \to +\infty$ quand $x \to -\infty$.
Alors $x\cdot e^{x} = (-X)\cdot e^{-x} = -\frac{X}{\exp (X)}$, où $\exp (X) = e^X$.
Par croissance comparée, $\lim\limits_{X \to +\infty} \frac{X}{\exp (X)} = 0$.
Donc $x\cdot e^{x} \to -0 = 0$.
Conclusion : $\lim\limits_{x \to -\infty} x\cdot e^{x} = 0$ (la courbe se rapproche de l'axe des abscisses en $-\infty$).