La fonction logarithme népérien

Soit $f(x) = \frac{\ln x}{x}$, définie sur $]0 \,;\, +\infty[$.
a) Calcule $f'(x)$.
b) Détermine le maximum de $f$.

Soit $f(x) = \ln(5x^{2} + 2)$, définie sur $\mathbb{R}$.
a) Calcule $f'(x)$.
b) Étudie les variations de $f$ et donne son minimum.

Soit $f(x) = x\ln x - x$, définie sur $]0 \,;\, +\infty[$.
a) Calcule et simplifie $f'(x)$.
b) Étudie les variations de $f$ et donne son minimum.

Résous l'équation $\ln x + \ln(x - 3) = \ln 10$.
a) Donne les conditions d'existence, puis transforme l'équation.
b) Résous et conclus.

Résous l'inéquation $\ln(x - 1) + \ln(x + 2) \le \ln 4$.
a) Donne les conditions d'existence.
b) Résous l'inéquation.

Résous l'équation $\ln(3x - 2) = \ln(x + 6)$.
a) Donne les conditions d'existence.
b) Résous et vérifie que la solution convient.

Un capital placé à 4 % par an est multiplié par $1{,}04^{n}$ au bout de $n$ années.
a) Écris l'inéquation traduisant « le capital a doublé ».
b) Résous-la à l'aide du logarithme.

On considère l'équation $2^{x} = 50$.
a) Résous-la à l'aide du logarithme népérien.
b) Donne la valeur exacte puis une valeur approchée au centième.

Résous l'inéquation $\ln x \le 3$.
a) Donne l'ensemble des solutions.
b) Résous ensuite $\ln(2x + 1) > 0$.

Résous l'équation $e^{2x} - 7e^{x} + 12 = 0$.
a) Pose $X = e^{x}$ et résous l'équation obtenue.
b) Reviens à $x$ et donne les solutions.