La fonction logarithme népérien

Condition d'existence : $x > 0$.
On écrit $2 = \ln (e^{2})$, puis on utilise la stricte croissance de ln : $\ln x \le \ln (e^{2})$ ⟺ $x \le e^{2}$.
En tenant compte de la condition $x > 0$, on obtient $0 < x \le e^{2}$.
Donc S = ]0 ; $e^{2}$].

On utilise les croissances comparées, qui traduisent que ln croît plus lentement que toute puissance de x.
a) lim de $\frac{\ln x}{x}$ quand $x \to +\infty$ est égale à 0 (limite de référence : le x du dénominateur l'emporte sur ln x).
b) lim de x ln x quand $x \to 0^{+}$ est égale à 0 (autre limite de référence : x tend vers 0 plus vite que ln x ne tend vers $-\infty$).
Dans les deux cas la forme est indéterminée (∞ ÷ ∞ ou $0 \times \infty$), et c'est le cours qui donne la valeur 0.