La fonction logarithme népérien
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On considère f(x) = x − ln x sur ]0 ; +∞[. a) Calcule f'(x). b) Étudie son signe et dresse le tableau de variations. c) Détermine le minimum de f. d) Déduis-en que pour tout x > 0, ln x ≤ x − 1.
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a) La dérivée de x est 1, celle de ln x est . Donc f'(x) = 1 − = .
b) Sur ]0 ; +∞[, le dénominateur x est strictement positif : f'(x) a le signe de x − 1. Ainsi f'(x) < 0 sur ]0 ; 1[ (f décroissante) et f'(x) > 0 sur ]1 ; +∞[ (f croissante). f admet donc un minimum en x = 1.
c) f(1) = 1 − ln 1 = 1 − 0 = 1. Le minimum de f vaut 1.
d) Comme 1 est le minimum, on a f(x) ≥ 1 pour tout x > 0, c'est-à-dire x − ln x ≥ 1.
En réarrangeant : ln x ≤ x − 1. L'inégalité est démontrée (égalité seulement en x = 1). - 2
Résous l'équation ln(x + 1) + ln(x − 1) = ln(x + 11). a) Donne le domaine. b) Transforme le membre de gauche. c) Résous. d) Vérifie.
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a) Conditions : x + 1 > 0 (x > −1) et x − 1 > 0 (x > 1). Le domaine est donc x > 1.
b) La somme de deux logarithmes devient le logarithme du produit : ln(x + 1) + ln(x − 1) = ln((x + 1)(x − 1)) = ln(x² − 1).
c) L'équation devient ln(x² − 1) = ln(x + 11), d'où x² − 1 = x + 11, soit x² − x − 12 = 0. Discriminant Δ = 1 + 48 = 49, √Δ = 7. Solutions : x = = 4 ou x = = −3. Seule x = 4 respecte x > 1.
d) Vérification : ln 5 + ln 3 = ln 15 et ln(4 + 11) = ln 15 ✓.
Donc S = {4}. - 3
Soit f(x) = sur ]0 ; +∞[. a) Calcule f'(x). b) Étudie ses variations. c) Donne le maximum de f. d) Détermine les limites en 0⁺ et en +∞.
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Résous l'équation (ln x)² − 3 ln x + 2 = 0. a) Pose un changement d'inconnue. b) Résous l'équation obtenue. c) Reviens à x. d) Vérifie une solution.
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Une substance radioactive a une masse Q(t) = Q₀ × e^(−0,05t) (t en années). a) Écris l'équation donnant la demi-vie (temps où la masse vaut la moitié). b) Résous-la avec ln. c) Donne une valeur approchée. d) Interprète.
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Soit f(x) = ln(x² + 1). a) Donne le domaine. b) Étudie la parité. c) Calcule f'(x) et son signe. d) Dresse le tableau de variations. e) Donne la limite en +∞.
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Résous l'inéquation ln x + ln(x + 3) ≤ ln(2x + 6). a) Donne le domaine. b) Transforme. c) Résous. d) Conclus.
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Soit f(x) = ln x. a) Détermine la tangente T à sa courbe au point d'abscisse e. b) On pose g(x) = ln x − . Étudie g et déduis la position de la courbe de f par rapport à T.
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Résous l'équation 2e²ˣ − 7eˣ + 3 = 0. a) Pose X = eˣ en précisant sa contrainte. b) Résous en X. c) Reviens à x. d) Vérifie une solution.
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Soit f(x) = x² − 8 ln x sur ]0 ; +∞[. a) Calcule f'(x) et mets-la sous forme d'un quotient. b) Étudie son signe. c) Dresse les variations. d) Donne la valeur exacte du minimum, puis une valeur approchée.
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