La fonction logarithme népérien

a) T : $y = f'(e)(x - e) + f(e)$. On a $f(e) = \ln e = 1$ et $f'(x) = \frac{1}{x}$ donc $f'(e) = \frac{1}{e}$. Ainsi $y = \frac{1}{e}(x - e) + 1 = \frac{x}{e} - 1 + 1 = \frac{x}{e}$. La tangente a pour équation $y = \frac{x}{e}$.
b) $g(x) = \ln x - \frac{x}{e}$ est définie sur $]0 \,;\, +\infty [$. $g'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{e} = \frac{e - x}{ex}$. Sur $]0 \,;\, +\infty [$, ex $> 0$, donc g'(x) a le signe de $e - x$ : g croissante sur $]0 \,;\, e[$, décroissante sur $]e \,;\, +\infty [$. Maximum en $x = e$ : $g(e) = \ln e - \frac{e}{e} = 1 - 1 = 0$.
Comme le maximum de g vaut 0, on a $g(x) \le 0$ pour tout $x > 0$, c'est-à-dire $\ln x \le \frac{x}{e}$.
Conclusion : la courbe de f est toujours située en dessous de sa tangente T (elle la touche seulement au point d'abscisse e). Cela traduit la concavité de la courbe de ln.

a) On dérive un quotient $\frac{u}{v}$ avec $u = \ln x (u' = \frac{1}{x})$ et $v = x (v' = 1)$. $f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^{2}} = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$ (le numérateur est $(\frac{1}{x})\times x - \ln x\times 1 = 1 - \ln x$).
b) Sur $]0 \,;\, +\infty [$, $x^{2} > 0$ : f'(x) a le signe de $1 - \ln x$. Or $1 - \ln x > 0$ ⟺ $\ln x < 1$ ⟺ $x < e$. Donc f est croissante sur $]0 \,;\, e[$ et décroissante sur $]e \,;\, +\infty [$.
c) Le maximum est atteint en $x = e$ : $f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}$.
d) En 0⁺ : $\ln x \to -\infty$ et $\frac{1}{x} \to +\infty$, donc $\frac{\ln x}{x} \to -\infty$. En $+\infty$ : par croissance comparée, $\frac{\ln x}{x} \to 0$.
Bilan : f part de $-\infty$, monte jusqu'à $\frac{1}{e}$ en $x = e$, puis redescend vers 0.