La fonction logarithme népérien
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Calcule sans calculatrice : a) ln(e⁷) b) ln(1) c) ln(e) d) e^(ln 5).
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On utilise les deux relations réciproques ln(eˣ) = x (pour tout x) et e^(ln x) = x (pour x > 0).
a) ln(e⁷) = 7, car ln « défait » l'exponentielle.
b) ln(1) = 0, car e⁰ = 1.
c) ln(e) = 1, car e¹ = e.
d) e^(ln 5) = 5, car l'exponentielle « défait » le ln (et 5 > 0, donc ln 5 existe bien). - 2
Résous l'équation ln(x) = 4.
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Condition d'existence : x > 0 (le ln n'existe que pour un nombre strictement positif).
On applique l'exponentielle des deux côtés, ou directement la définition : ln(x) = 4 ⟺ x = e⁴.
Or e⁴ ≈ 54,6, qui est bien strictement positif : la condition est respectée.
Donc S = {e⁴}. - 3
Résous l'équation eˣ = 20.
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Exprime en fonction de ln 2 : a) ln 8 b) ln() c) ln(√2).
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Donne l'ensemble de définition de la fonction f(x) = ln(x − 3).
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Dérive la fonction f(x) = ln x + x² sur ]0 ; +∞[.
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Simplifie l'expression A = ln 15 − ln 3.
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Range dans l'ordre croissant les nombres : ln 5, ln 1, ln(), ln 2.
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Détermine les limites : a) lim de ln x quand x → +∞ b) lim de ln x quand x → 0⁺.
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Exprime en fonction de ln 2 et ln 3 : a) ln 6 b) ln 18 c) ln().
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