La loi binomiale

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1
Une variable aléatoire X suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10 \,;\, 0{,}3)$ .
a) Calcule $P(X = 3)$ , arrondi au millième.
b) Calcule $E(X)$ et $\sigma(X)$ .
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a) $P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0{,}3^{3} \times 0{,}7^{7}$ .
$\binom{10}{3} = 120$ , $0{,}3^{3} = 0{,}027$ et $0{,}7^{7} \approx 0{,}0824$ .
$P(X = 3) \approx 120 \times 0{,}027 \times 0{,}0824 \approx 0{,}267$ .

b) Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n \,;\, p)$ : $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$ .
$E(X) = 10 \times 0{,}3 = 3$ .
$V(X) = 10 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 2{,}1$ , donc $\sigma(X) = \sqrt{2{,}1} \approx 1{,}45$ .
2
Une usine produit des pièces ; chacune est défectueuse avec la probabilité 0,04, indépendamment des autres. On prélève un lot de 25 pièces.
a) Justifie que le nombre X de pièces défectueuses suit une loi binomiale, dont on précisera les paramètres.
b) Calcule la probabilité qu'il y ait au moins une pièce défectueuse.
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a) On répète 25 fois la même épreuve, de façon indépendante, avec deux issues : défectueuse (succès, $p = 0{,}04$ ) ou non.
X compte le nombre de succès : X suit la loi binomiale $\mathcal{B}(25 \,;\, 0{,}04)$ .

b) « Au moins une » est le contraire de « aucune ».
$P(X = 0) = 0{,}96^{25} \approx 0{,}360$ .
$P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}360 = 0{,}640$ .
Il y a environ 64 % de chances de trouver au moins une pièce défectueuse dans le lot.
3
Un QCM comporte 12 questions, chacune avec 4 réponses possibles dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard.
a) Quelle est la probabilité qu'il obtienne exactement 5 bonnes réponses ?
b) Combien de bonnes réponses obtiendra-t-il en moyenne ?
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4
X suit la loi binomiale $\mathcal{B}(6 \,;\, 0{,}5)$ .
a) Calcule $P(X \leqslant 2)$ .
b) Déduis-en $P(X \geqslant 4)$ sans nouveau calcul, en utilisant la symétrie de cette loi.
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5
Dans une population, 20 % des personnes possèdent un certain gène. On interroge 15 personnes au hasard.
a) Calcule la probabilité qu'exactement 3 d'entre elles possèdent ce gène.
b) Calcule la probabilité qu'au plus 2 le possèdent.
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6
Un joueur de basket réussit 70 % de ses lancers francs. Il en tente 8.
a) Quelle est la probabilité qu'il les réussisse tous ?
b) Quelle est la probabilité qu'il en réussisse au moins 7 ?
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7
X suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n \,;\, 0{,}1)$ .
a) Exprime $P(X = 0)$ en fonction de $n$ .
b) Détermine le plus petit entier $n$ tel que la probabilité d'obtenir au moins un succès dépasse 0,95.
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8
Une graine germe avec la probabilité 0,8. On en sème 50.
a) Calcule l'espérance et l'écart-type du nombre X de graines qui germent.
b) L'intervalle $[E(X) - 2\sigma \,;\, E(X) + 2\sigma]$ contient l'essentiel des valeurs possibles. Donne-le, arrondi à l'unité.
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9
Une variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(15 \,;\, 0{,}2)$ .
a) Calcule $P(X = 2)$ , arrondi au millième.
b) Calcule $E(X)$ et $\sigma(X)$ .
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10
Un QCM comporte 20 questions à 4 choix. Un candidat répond entièrement au hasard. On note $X$ le nombre de bonnes réponses.
a) Justifie que $X$ suit une loi binomiale et donne ses paramètres.
b) Calcule $E(X)$ , puis $P(X = 0)$ .
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