La loi binomiale

Une machine produit des pièces ; 4 % d'entre elles sont défectueuses, indépendamment les unes des autres. On prélève au hasard un lot de 15 pièces (le grand nombre de pièces produites permet d'assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise). On note X le nombre de pièces défectueuses du lot.
a) Justifie que X suit la loi B(15 ; 0,04).
b) Calcule P(X = 0) (au dix-millième).
c) En déduire P(X ⩾ 1).
d) Calcule P(X ⩾ 2) (au dix-millième).

Un basketteur réussit chaque lancer franc avec une probabilité de 0,75, de façon indépendante. Il tente une série de 6 lancers francs. On note X le nombre de lancers réussis.
a) Calcule P(X = 6) (tous réussis).
b) Calcule P(X = 5).
c) En déduire P(X ⩾ 5) (au moins 5 réussites).
d) Calcule E(X) et interprète.

Sur un site de vente, chaque visiteur effectue un achat avec une probabilité de 0,1, indépendamment des autres. On observe n visiteurs. On souhaite que la probabilité d'obtenir au moins un achat soit supérieure ou égale à 0,95.
a) Exprime, en fonction de n, la probabilité qu'aucun des n visiteurs n'achète.
b) Traduis la condition demandée par une inéquation, puis résous-la.
c) Donne le plus petit entier n qui convient, et vérifie ta réponse.

On lance 10 fois un dé équilibré à 6 faces. On note X le nombre de « 6 » obtenus.
a) Précise la loi de X, puis calcule E(X) et σ(X) (au dix-millième).
b) Calcule P(X = 2) (au dix-millième).
c) Calcule P(X ⩾ 1) (au dix-millième).

On dispose d'une pièce truquée telle que P(pile) = 0,6. On la lance plusieurs fois de façon indépendante et on note X le nombre de « pile ».
a) On lance la pièce 10 fois : calcule E(X).
b) Toujours pour 10 lancers, calcule P(X = 6) (au dix-millième).
c) Combien de lancers faut-il pour que l'espérance du nombre de « pile » soit égale à 30 ?

Un appareil contient 4 composants identiques et indépendants ; chaque composant fonctionne avec une probabilité de 0,9. On note X le nombre de composants en état de marche.
a) Calcule P(X = 4).
b) L'appareil fonctionne s'il possède au moins 3 composants en état de marche. Calcule la probabilité que l'appareil fonctionne.
c) Calcule P(X ⩽ 1).

Une maladie touche 2 % d'une population, indépendamment d'une personne à l'autre. On teste n personnes prises au hasard et on note X le nombre de personnes malades. On souhaite que la probabilité de détecter au moins un malade soit supérieure ou égale à 0,90.
a) Exprime P(X = 0) en fonction de n.
b) Écris et résous l'inéquation traduisant la condition.
c) Donne le plus petit entier n qui convient et vérifie.

À un QCM de 20 questions, chaque question a 4 réponses possibles dont une seule correcte. Un élève répond entièrement au hasard. On note X le nombre de bonnes réponses.
a) Précise la loi de X, puis calcule E(X) et σ(X) (au dix-millième).
b) Calcule P(X = 5) (au dix-millième).
c) Calcule P(X = 0) (au dix-millième).

Dans une ville, 30 % des habitants sont favorables à un projet municipal. On interroge 8 habitants choisis au hasard (population assez grande pour supposer l'indépendance). On note X le nombre d'habitants favorables.
a) Calcule P(X = 3) (au dix-millième).
b) Calcule P(X ⩽ 2) (au plus deux favorables).
c) Calcule P(2 ⩽ X ⩽ 4).

On lance 5 fois une pièce équilibrée, de façon indépendante. On note X le nombre de « pile ».
a) Donne la loi de X : calcule P(X = k) pour k allant de 0 à 5.
b) Vérifie que la somme de toutes ces probabilités vaut 1.
c) À chaque « pile », on gagne 2 €. On note G le gain total. Exprime G en fonction de X, puis calcule E(G).