La loi binomiale

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1
À un QCM de 20 questions, chaque question a 4 réponses possibles dont une seule correcte. Un élève répond entièrement au hasard. On note X le nombre de bonnes réponses.
Calcule $P(X = 0)$ (au dix-millième).
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a) Chaque question est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = \frac{1}{4} = 0{,}25$ ; les 20 questions sont indépendantes. Donc X suit B(20 ; 0,25).
$E(X) = 20 \times 0{,}25 = 5$ .
$V(X) = 20 \times 0{,}25 \times 0{,}75 = 3{,}75$ , donc $\sigma (X) = \sqrt{3{,}75} \approx 1{,}9365$ .
b) $P(X = 5) = C(20 \,;\, 5) \times 0{,}25^{5} \times 0{,}75^{15}$ .
$C(20 \,;\, 5) = 15504$ , $0{,}25^{5} = 0{,}0009765625$ et $0{,}75^{15} \approx 0{,}0133635$ .
$P(X = 5) \approx 15504 \times 0{,}0009765625 \times 0{,}0133635 \approx 0{,}2023$ .
c) $P(X = 0) = 0{,}75^{20} \approx 0{,}0032$ .
Ainsi, répondre au hasard donne en moyenne 5 bonnes réponses, et il est très peu probable $(\approx 0{,}3 \%)$ de n'en avoir aucune juste.
2
On lance 10 fois un dé équilibré à 6 faces. On note X le nombre de « 6 » obtenus.
Calcule P(X ⩾ 1) (au dix-millième).
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a) Les 10 lancers sont indépendants, chacun donne un « 6 » avec probabilité $\frac{1}{6}$ . Donc X suit $B(10 \,;\, \frac{1}{6})$ .
$E(X) = n \times p = 10 \times \frac{1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \approx 1{,}6667$ .
$V(X) = n \times p \times (1 - p) = 10 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{50}{36} \approx 1{,}3889$ .
$\sigma (X) = \sqrt{1{,}3889} \approx 1{,}1785$ .
b) $P(X = 2) = C(10 \,;\, 2) \times (\frac{1}{6})^{2} \times (\frac{5}{6})^{8}$ .
$C(10 \,;\, 2) = 45$ , $(\frac{1}{6})^{2} = \frac{1}{36}$ , et $(\frac{5}{6})^{8} \approx 0{,}2326$ .
$P(X = 2) = 45 \times \frac{1}{36} \times 0{,}2326 = 1{,}25 \times 0{,}2326 \approx 0{,}2907$ .
c) P(X ⩾ 1) $= 1 - P(X = 0) = 1 - (\frac{5}{6})^{10}$ .
$(\frac{5}{6})^{10} \approx 0{,}1615$ , donc P(X ⩾ 1) $\approx 1 - 0{,}1615 = 0{,}8385$ .
3
On dispose d'une pièce truquée telle que $P(\text{pile}) = 0{,}6$ . On la lance plusieurs fois de façon indépendante et on note X le nombre de « pile ».
Combien de lancers faut-il pour que l'espérance du nombre de « pile » soit égale à 30 ?
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4
Une maladie touche 2 % d'une population, indépendamment d'une personne à l'autre. On teste n personnes prises au hasard et on note X le nombre de personnes malades. On souhaite que la probabilité de détecter au moins un malade soit supérieure ou égale à 0,90.
Donne le plus petit entier n qui convient et vérifie.
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5
Un basketteur réussit chaque lancer franc avec une probabilité de 0,75, de façon indépendante. Il tente une série de 6 lancers francs. On note X le nombre de lancers réussis.
a) Calcule $P(X = 6)$ (tous réussis).
b) Calcule $P(X = 5)$ .
c) En déduire P(X ⩾ 5) (au moins 5 réussites).
d) Calcule E(X) et interprète.
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6
Un appareil contient 4 composants identiques et indépendants ; chaque composant fonctionne avec une probabilité de 0,9. On note X le nombre de composants en état de marche.
Calcule P(X ⩽ 1).
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7
Sur un site de vente, chaque visiteur effectue un achat avec une probabilité de 0,1, indépendamment des autres. On observe n visiteurs. On souhaite que la probabilité d'obtenir au moins un achat soit supérieure ou égale à 0,95.
a) Exprime, en fonction de n, la probabilité qu'aucun des n visiteurs n'achète.
b) Traduis la condition demandée par une inéquation, puis résous-la.
c) Donne le plus petit entier n qui convient, et vérifie ta réponse.
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8
Dans une ville, 30 % des habitants sont favorables à un projet municipal. On interroge 8 habitants choisis au hasard (population assez grande pour supposer l'indépendance). On note X le nombre d'habitants favorables.
Calcule P(2 ⩽ X ⩽ 4).
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9
On lance 5 fois une pièce équilibrée, de façon indépendante. On note X le nombre de « pile ».
À chaque « pile », on gagne 2 €. On note G le gain total. Exprime G en fonction de X, puis calcule E(G).
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10
Une machine produit des pièces ; 4 % d'entre elles sont défectueuses, indépendamment les unes des autres. On prélève au hasard un lot de 15 pièces (le grand nombre de pièces produites permet d'assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise). On note X le nombre de pièces défectueuses du lot.
Calcule P(X ⩾ 2) (au dix-millième).
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