La loi binomiale

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1
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(10 ; 0,3). Calcule l'espérance E(X).
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Pour une loi binomiale $B(n \,;\, p)$ , l'espérance est $E(X) = n \times p$ .
Ici $n = 10$ et $p = 0{,}3$ .
$E(X) = 10 \times 0{,}3 = 3$ .
Interprétation : si on répète très souvent l'expérience des 10 épreuves, on obtient en moyenne 3 succès.
2
Un basketteur réussit chacun de ses lancers francs avec une probabilité de 0,8, indépendamment les uns des autres. Il tente 3 lancers. Calcule la probabilité qu'il réussisse les 3 lancers.
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Les 3 lancers sont indépendants, donc on multiplie les probabilités.
$P(3 \text{réussites}) = 0{,}8 \times 0{,}8 \times 0{,}8 = 0{,}8^{3}$ .
$0{,}8^{3} = 0{,}8 \times 0{,}8 \times 0{,}8 = 0{,}64 \times 0{,}8 = 0{,}512$ .
La probabilité qu'il marque les 3 lancers est donc 0,512.
3
On lance une pièce équilibrée 4 fois de suite, de façon indépendante. Calcule la probabilité d'obtenir « face, face, face, face » (quatre faces à la suite).
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4
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(6 ; 0,5). Calcule $P(X = 6)$ .
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5
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(5 ; 0,2). Calcule $P(X = 0)$ .
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6
Dans un schéma de Bernoulli d'ordre 4 (on répète 4 fois la même épreuve), combien de chemins de l'arbre mènent à exactement 2 succès ? Donne aussi le nombre de chemins menant à exactement 1 succès.
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7
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(3 ; 0,4). Calcule $P(X = 1)$ .
Je suis les branches !
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8
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(20 ; 0,6).
a) Calcule E(X).
b) Calcule la variance V(X) puis l'écart type σ(X) (valeur approchée au centième).
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9
À un QCM, chaque question a 4 réponses possibles dont une seule est correcte. Un élève répond totalement au hasard. Pour une question, on note S le succès « bonne réponse ».
a) Donne $p = P(S)$ et P(échec).
b) Il répond au hasard à 3 questions indépendantes : calcule la probabilité de donner les 3 bonnes réponses.
Chaque chemin compte !
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10
On lance un dé équilibré à 6 faces. Le succès est « obtenir un multiple de 3 » (c'est-à-dire 3 ou 6). Cette expérience est une épreuve de Bernoulli.
a) Donne le paramètre p.
b) Donne l'espérance et la variance de la variable X qui vaut 1 en cas de succès et 0 sinon.
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