La loi binomiale

🟡 Moyen

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1
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(7 ; 0,1). Calcule P(X ⩾ 1).
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On passe par l'événement contraire « $X = 0$ ».
P(X ⩾ 1) $= 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}9^{7}$ .
$0{,}9^{7} = 0{,}9 \times 0{,}9 \times 0{,}9 \times 0{,}9 \times 0{,}9 \times 0{,}9 \times 0{,}9 \approx 0{,}4782969$ .
Donc P(X ⩾ 1) $= 1 - 0{,}4782969 = 0{,}5217031$ .
Environ 52,2 % de chances d'obtenir au moins un succès.
2
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(4 ; 0,5). Calcule $P(X = 2)$ .
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On applique la formule avec $n = 4$ , $p = 0{,}5$ , $k = 2$ .
$P(X = 2) = C(4 \,;\, 2) \times 0{,}5^{2} \times 0{,}5^{2}$ .
$C(4 \,;\, 2) = 6$ et $0{,}5^{2} = 0{,}25$ .
$P(X = 2) = 6 \times 0{,}25 \times 0{,}25 = 6 \times 0{,}0625 = 0{,}375$ .
Donc $P(X = 2) = 0{,}375$ .
Remarque : comme $p = 0{,}5$ , la loi est symétrique et 2 succès sur 4 est bien la valeur la plus probable.
3
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(6 ; 0,2). Calcule P(X ⩽ 1).
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4
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(5 ; 0,3). Calcule P(X ⩾ 1) (au moins un succès).
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5
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(8 ; 0,5). Calcule $P(X = 4)$ .
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6
Un joueur gagne une partie avec une probabilité de 0,6. Il joue 5 parties indépendantes. Calcule la probabilité qu'il gagne exactement 3 parties.
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7
Une urne contient des boules dont 25 % sont rouges. On effectue 4 tirages avec remise (donc indépendants). Calcule la probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges.
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8
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(50 ; 0,4).
a) Calcule E(X).
b) Calcule V(X) puis σ(X) (valeur approchée au centième).
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9
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(12 ; 0,5). Calcule P(X ⩽ 2).
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10
Une chaîne produit des pièces ; chaque pièce est défectueuse avec une probabilité de 0,05, indépendamment des autres. On prélève 10 pièces au hasard et on note X le nombre de pièces défectueuses.
a) Quelle loi suit X ?
b) Calcule $P(X = 0)$ et $P(X = 1)$ (valeurs approchées au dix-millième).
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