Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace

🟠 Difficile

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1
Soit $A(2 \,;\, -1 \,;\, 3)$ et $\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ .
a) Détermine une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par A et de vecteur normal $\vec{n}$ .
b) Le point $B(0 \,;\, 1 \,;\, 2)$ appartient-il à $\mathcal{P}$ ?
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a) L'équation est de la forme $x + 2y - 2z + d = 0$ .
En écrivant que A y appartient : $2 - 2 - 6 + d = 0$ , donc $d = 6$ .
Équation : $x + 2y - 2z + 6 = 0$ .

b) En B : $0 + 2 - 4 + 6 = 4 \neq 0$ .
Le point B n'appartient donc pas au plan $\mathcal{P}$ .
2
Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation $2x - y + 3z - 5 = 0$ .
a) Donne un vecteur normal à $\mathcal{P}$ .
b) Les points $M(1 \,;\, 0 \,;\, 1)$ et $N(2 \,;\, 2 \,;\, 1)$ appartiennent-ils à $\mathcal{P}$ ?
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a) Les coefficients de $x$ , $y$ et $z$ donnent directement un vecteur normal.
$\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ .

b) En M : $2 - 0 + 3 - 5 = 0$ : M appartient au plan.
En N : $4 - 2 + 3 - 5 = 0$ : N y appartient également.
La droite $(MN)$ est donc entièrement contenue dans $\mathcal{P}$ .
3
On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ et conclus.
b) Calcule $\Vert\vec{u}\Vert$ et $\Vert\vec{v}\Vert$ .
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4
On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ et les deux normes.
b) Détermine la mesure de l'angle entre les deux vecteurs.
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5
On considère le point $A(2 \,;\, 1 \,;\, -1)$ et le plan $\mathcal{P} : 2x + y - 2z + 1 = 0$ .
a) Calcule la distance de A à $\mathcal{P}$ .
b) Le point A appartient-il au plan ?
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6
On donne $A(1 \,;\, 0 \,;\, 2)$ , $B(3 \,;\, 2 \,;\, 4)$ et $C(2 \,;\, -1 \,;\, 3)$ .
a) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ .
b) Le triangle ABC est-il rectangle en A ?
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7
Soit le plan $\mathcal{P} : x - 2y + 2z - 6 = 0$ et le point $A(1 \,;\, 1 \,;\, 1)$ .
a) Calcule la distance de A à $\mathcal{P}$ .
b) Détermine les coordonnées d'un point du plan.
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8
On considère les plans $\mathcal{P} : 3x - y + 2z - 1 = 0$ et $\mathcal{Q} : -6x + 2y - 4z + 7 = 0$ .
a) Donne un vecteur normal à chacun.
b) Ces plans sont-ils parallèles ? Sont-ils confondus ?
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9
On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ et les normes.
b) Détermine une valeur approchée de l'angle entre les deux vecteurs, en degrés.
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10
Soit le plan $\mathcal{P}$ passant par $A(0 \,;\, 1 \,;\, 2)$ et de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
a) Détermine une équation cartésienne de $\mathcal{P}$ .
b) Calcule la distance de l'origine à ce plan.
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