Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace

a) La grande diagonale a pour vecteur $\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
Je prends deux vecteurs du plan (BDE), non colinéaires : $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} 0 - 1 \\ 1 - 0 \\ 0 - 0 \end{pmatrix} = \overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} 0 - 1 \\ 0 - 0 \\ 1 - 0 \end{pmatrix} = \overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.
$AG\cdot \overrightarrow{BD} = -1 + 1 + 0 = 0$ et $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{BE} = -1 + 0 + 1 = 0$.
AG est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, donc (AG) est orthogonale au plan (BDE).

b) Comme (AG) est orthogonale au plan, $\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal du plan (BDE).
L'équation est de la forme $x + y + z + d = 0$. Je fais passer par B(1 ; 0 ; 0) : $1 + 0 + 0 + d = 0$, donc $d = -1$.
Équation : $x + y + z - 1 = 0$.

c) $d(A \,;\, (\text{BDE})) = \frac{|0 + 0 + 0 - 1|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ (soit environ 0,58).

a) $\overrightarrow{AG}$$\begin{pmatrix} 1 - 0 \\ 1 - 0 \\ 1 - 0 \end{pmatrix}$ = $\overrightarrow{AG}$$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{CE}$$\begin{pmatrix} 0 - 1 \\ 0 - 1 \\ 1 - 0 \end{pmatrix}$ = $\overrightarrow{CE}$$\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

b) $\overrightarrow{AG}$·$\overrightarrow{CE}$ = 1×(−1) + 1×(−1) + 1×1 = −1 − 1 + 1 = −1.

c) ‖$\overrightarrow{AG}$‖ = √(1 + 1 + 1) = √3 et ‖$\overrightarrow{CE}$‖ = √(1 + 1 + 1) = √3.
Pour l'angle géométrique entre les deux droites, on utilise la valeur absolue du produit scalaire :
cos(θ) = $\frac{|\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{CE}|}{\Vert \overrightarrow{AG}\Vert \times \Vert \overrightarrow{CE}\Vert }$ = $\frac{|-1|}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0,333.
Donc θ ≈ 70,5°.
Les diagonales de l'espace se coupent selon un angle d'environ 70,5°.