Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace
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Dans un repère orthonormé, on donne A(1 ; 2 ; 0), B(3 ; −1 ; 2) et C(0 ; 1 ; −1).
a) Calcule le produit scalaire AB·AC.
b) Détermine une valeur approchée au degré de l'angle BAC.
c) Calcule l'aire exacte du triangle ABC.✅ Voir le corrigéoffert
a) Je calcule les vecteurs : AB(3 − 1 ; −1 − 2 ; 2 − 0) = AB(2 ; −3 ; 2) et AC(0 − 1 ; 1 − 2 ; −1 − 0) = AC(−1 ; −1 ; −1).
AB·AC = 2×(−1) + (−3)×(−1) + 2×(−1) = −2 + 3 − 2 = −1.
b) Je calcule les normes : ‖AB‖ = √(4 + 9 + 4) = √17 et ‖AC‖ = √(1 + 1 + 1) = √3.
cos(BAC) = = = ≈ −0,140.
Donc BAC ≈ 98°. L'angle est obtus, ce qui est logique car le produit scalaire est négatif.
c) L'aire vaut × ‖AB‖ × ‖AC‖ × sin(BAC).
Comme cos²(BAC) = , on a sin²(BAC) = 1 − = , donc sin(BAC) = √().
Aire = × √17 × √3 × √() = × √51 × √() = × √50 = × 5√2.
Résultat : l'aire du triangle ABC est (soit environ 3,54 unités d'aire). - 2
Dans un repère orthonormé, on considère A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0) et C(0 ; 0 ; 3).
a) Détermine une équation cartésienne du plan (ABC).
b) Calcule la distance de l'origine O au plan (ABC).
c) Détermine les coordonnées du projeté orthogonal H de O sur le plan (ABC).✅ Voir le corrigéoffert
a) Les trois points sont sur les axes, on peut utiliser l'équation « par intercepts » : + + = 1.
Je multiplie tout par 6 : 6x + 3y + 2z = 6, soit 6x + 3y + 2z − 6 = 0.
Vérification avec B(0 ; 2 ; 0) : 0 + 6 + 0 − 6 = 0. ✅
b) Le vecteur normal est n(6 ; 3 ; 2) et ‖n‖ = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7.
d(O ; (ABC)) = = = .
c) H est sur la droite passant par O et de direction n : H(6t ; 3t ; 2t).
J'écris que H appartient au plan : 6×6t + 3×3t + 2×2t − 6 = 0, soit 36t + 9t + 4t − 6 = 0, donc 49t = 6 et t = .
Ainsi H( ; ; ).
Vérification : OH = |t| × ‖n‖ = × 7 = , on retrouve bien la distance du b). ✅ - 3
ABCDEFGH est un cube d'arête 1, placé dans un repère orthonormé tel que A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1) et G(1 ; 1 ; 1).
a) Montre que la diagonale (AG) est orthogonale au plan (BDE).
b) Détermine une équation cartésienne du plan (BDE).
c) Calcule la distance du point A au plan (BDE).🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
Dans un repère orthonormé, on donne A(2 ; 1 ; 3), B(4 ; −1 ; 1) et le plan 𝒫 : x − 2y + 2z − 6 = 0.
a) Montre que A appartient à 𝒫.
b) Calcule la distance du point B au plan 𝒫.
c) Détermine les coordonnées du projeté orthogonal H de B sur 𝒫.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
Dans un repère orthonormé, on donne A(1 ; 0 ; 2), B(3 ; 2 ; 2) et C(2 ; −1 ; 5).
a) Montre que le triangle ABC est rectangle en A.
b) Calcule l'aire exacte du triangle ABC.
c) Calcule la longueur BC et vérifie la relation de Pythagore.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
Dans un repère orthonormé, on donne le point A(1 ; −1 ; 2) et le plan 𝒫 : 2x − y + 2z − 3 = 0.
a) Calcule la distance du point A au plan 𝒫.
b) Détermine les coordonnées du projeté orthogonal H de A sur 𝒫.
c) Détermine les coordonnées du point A', symétrique de A par rapport au plan 𝒫.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
On considère les vecteurs u(m ; 2 ; 1) et v(m ; −3 ; m), où m est un réel.
a) Détermine les valeurs de m pour lesquelles u et v sont orthogonaux.
b) Pour m = 2, calcule les normes ‖u‖ et ‖v‖.
c) Pour m = 2, détermine un vecteur unitaire colinéaire à u et de même sens.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
Dans un repère orthonormé, on considère le tétraèdre de sommets A(0 ; 0 ; 0), B(2 ; 0 ; 0), C(0 ; 3 ; 0) et D(0 ; 0 ; 4).
a) Montre que les arêtes [AB], [AC] et [AD] sont deux à deux orthogonales.
b) Détermine une équation cartésienne du plan (BCD).
c) Calcule la distance du point A au plan (BCD).🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
ABCDEFGH est un cube d'arête 1 dans un repère orthonormé, avec A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1) et G(1 ; 1 ; 1).
a) Donne les coordonnées des vecteurs AG et CE (diagonales de l'espace).
b) Calcule le produit scalaire AG·CE.
c) Détermine une valeur approchée au dixième de degré de l'angle entre les diagonales (AG) et (CE).🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
Dans un repère orthonormé, on donne le plan 𝒫 : x + y + z − 6 = 0 et le point A(4 ; 5 ; 3).
a) Vérifie que A n'appartient pas à 𝒫.
b) Détermine les coordonnées du point d'intersection H de 𝒫 avec la droite passant par A et orthogonale à 𝒫.
c) Calcule la distance AH et retrouve le résultat par la formule de distance d'un point à un plan.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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