Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace

Calcule la mesure de l'angle entre les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Détermine la valeur du réel t pour que les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} t \\ t - 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ soient orthogonaux.

On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$. Montre que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux, puis calcule $\Vert \vec{u}\Vert$ et $\Vert \vec{v}\Vert$.

Calcule la distance du point A(1 ; 2 ; 3) au plan 𝒫 d'équation $x + 2y + 2z - 3 = 0$.

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ vérifient $\Vert \vec{u}\Vert = 3$, $\Vert \vec{v}\Vert = 4$ et $\vec{u}\cdot \vec{v} = 5$. Calcule $\Vert \vec{u} + \vec{v}\Vert$.

Une droite 𝒹 a pour vecteur directeur $d(1 \,;\, -1 \,;\, 2)$. Le plan 𝒫 a pour équation $2x - 2y + 4z + 5 = 0$. La droite 𝒹 est-elle orthogonale au plan 𝒫 ?

Détermine une équation cartésienne du plan 𝒫 passant par le point $A(1 \,;\, 2 \,;\, -1)$ et admettant $\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ comme vecteur normal.

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ vérifient $\Vert \vec{u}\Vert = 2$, $\Vert \vec{v}\Vert = 3$ et $\vec{u}\cdot \vec{v} = 1$. Développe et calcule $(\vec{u} + 2\vec{v})\cdot (\vec{u} - \vec{v})$.

Le plan 𝒫 a pour équation $3x + y - 2z - 4 = 0$. Les points M(2 ; 0 ; 1) et $N(1 \,;\, 1 \,;\, -1)$ appartiennent-ils à 𝒫 ?

Dans un repère orthonormé, A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0) et C(0 ; 0 ; 1). Détermine la nature du triangle ABC, puis calcule l'angle en A.