Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace
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Détermine une équation cartésienne du plan 𝒫 passant par le point A(1 ; 2 ; −1) et admettant n(2 ; −1 ; 3) comme vecteur normal.
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Étape 1 — Une équation de plan de vecteur normal n(a ; b ; c) est de la forme ax + by + cz + d = 0.
Avec n(2 ; −1 ; 3), on a : 2x − y + 3z + d = 0.
Étape 2 — Je détermine d en écrivant que A(1 ; 2 ; −1) appartient au plan : 2×1 − 2 + 3×(−1) + d = 0.
Étape 3 — Je calcule : 2 − 2 − 3 + d = 0, soit −3 + d = 0, donc d = 3.
Résultat : une équation du plan est 2x − y + 3z + 3 = 0.
Vérification avec A : 2 − 2 − 3 + 3 = 0. ✅ - 2
Le plan 𝒫 a pour équation 3x + y − 2z − 4 = 0. Les points M(2 ; 0 ; 1) et N(1 ; 1 ; −1) appartiennent-ils à 𝒫 ?
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Étape 1 — Un point appartient au plan si ses coordonnées annulent l'équation.
Étape 2 — Test de M(2 ; 0 ; 1) : 3×2 + 0 − 2×1 − 4 = 6 + 0 − 2 − 4 = 0.
Le résultat est 0, donc M appartient à 𝒫.
Étape 3 — Test de N(1 ; 1 ; −1) : 3×1 + 1 − 2×(−1) − 4 = 3 + 1 + 2 − 4 = 2.
Le résultat est 2 (différent de 0), donc N n'appartient pas à 𝒫.
Résultat : M ∈ 𝒫 mais N ∉ 𝒫. - 3
Calcule la mesure de l'angle entre les vecteurs u(1 ; 1 ; 0) et v(1 ; 0 ; 1).
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Calcule la distance du point A(1 ; 2 ; 3) au plan 𝒫 d'équation x + 2y + 2z − 3 = 0.
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On donne u(2 ; −2 ; 1) et v(1 ; 2 ; 2). Montre que u et v sont orthogonaux, puis calcule ‖u‖ et ‖v‖.
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Une droite 𝒹 a pour vecteur directeur d(1 ; −1 ; 2). Le plan 𝒫 a pour équation 2x − 2y + 4z + 5 = 0. La droite 𝒹 est-elle orthogonale au plan 𝒫 ?
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Deux vecteurs u et v vérifient ‖u‖ = 3, ‖v‖ = 4 et u·v = 5. Calcule ‖u + v‖.
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Deux vecteurs u et v vérifient ‖u‖ = 2, ‖v‖ = 3 et u·v = 1. Développe et calcule (u + 2v)·(u − v).
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Détermine la valeur du réel t pour que les vecteurs u(t ; t − 1 ; 2) et v(2 ; 1 ; −1) soient orthogonaux.
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Dans un repère orthonormé, A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0) et C(0 ; 0 ; 1). Détermine la nature du triangle ABC, puis calcule l'angle en A.
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