Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace
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Dans un repère orthonormé, on donne u(2 ; −1 ; 3) et v(1 ; 4 ; 0). Calcule le produit scalaire u·v.
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Étape 1 — En repère orthonormé, u·v = xx' + yy' + zz'.
Étape 2 — Je remplace : u·v = 2×1 + (−1)×4 + 3×0.
Étape 3 — Je calcule chaque terme : 2×1 = 2 ; (−1)×4 = −4 ; 3×0 = 0.
Étape 4 — J'additionne : 2 + (−4) + 0 = −2.
Résultat : u·v = −2. Comme le produit scalaire n'est pas nul, les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux. - 2
Deux vecteurs u et v vérifient ‖u‖ = 3, ‖v‖ = 5 et l'angle entre eux mesure 60°. Calcule u·v.
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Étape 1 — J'utilise la formule avec l'angle : u·v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(θ).
Étape 2 — Je remplace : u·v = 3 × 5 × cos(60°).
Étape 3 — Je sais que cos(60°) = = 0,5.
Étape 4 — Je calcule : u·v = 15 × 0,5 = 7,5.
Résultat : u·v = 7,5. Le résultat est positif, ce qui est logique car l'angle est aigu (inférieur à 90°). - 3
On donne le vecteur u(1 ; 2 ; 2) dans un repère orthonormé. Calcule sa norme ‖u‖.
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Dans un repère orthonormé, A(1 ; 0 ; 2) et B(4 ; −2 ; 2). Donne les coordonnées du vecteur AB, puis calcule la distance AB.
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Les vecteurs u(3 ; −1 ; 2) et v(2 ; 2 ; −2) sont-ils orthogonaux ?
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Dans un repère orthonormé, calcule le produit scalaire de u(1 ; −3 ; 4) et v(2 ; 1 ; −1).
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Deux vecteurs u et v vérifient ‖u‖ = 4, ‖v‖ = 6 et u·v = 12. Détermine la valeur de cos(θ), puis l'angle θ.
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On donne u(2 ; 0 ; −1) dans un repère orthonormé. Calcule le carré scalaire u·u, puis la norme ‖u‖.
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Détermine la valeur du nombre k pour que les vecteurs u(1 ; 2 ; k) et v(3 ; −1 ; 1) soient orthogonaux.
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Dans un repère orthonormé, A(2 ; 1 ; −1) et B(2 ; 4 ; 3). Calcule la distance AB.
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