Sommes de variables aléatoires

X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes telles que $E(X) = 3$, $V(X) = 2$, $E(Y) = -1$ et $V(Y) = 5$.
a) Calcule $E(3X + 2Y)$ et $V(3X + 2Y)$.
b) Calcule l'écart-type de $3X + 2Y$, arrondi au centième.

On lance deux dés équilibrés à 6 faces et on note S la somme obtenue.
a) Calcule $E(S)$ et $V(S)$ en utilisant la variable X « résultat d'un dé » (on donne $E(X) = 3{,}5$ et $V(X) = \frac{35}{12}$).
b) Calcule l'écart-type de S, arrondi au centième.

Une variable X suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n \,;\, p)$, avec $E(X) = 12$ et $V(X) = 4{,}8$.
a) Retrouve les valeurs de $n$ et de $p$.
b) Calcule $P(X = n)$, arrondi au millième.

La loi de X est : $X = -2$ avec la probabilité 0,3 ; $X = 1$ avec la probabilité 0,5 ; $X = 4$ avec la probabilité 0,2.
a) Calcule $E(X)$ et $V(X)$.
b) On pose $Y = 2X - 1$. Calcule $E(Y)$ et $\sigma(Y)$.

$X_{1}, \dots, X_{50}$ sont 50 variables indépendantes, de même loi, d'espérance 4 et de variance 9. On pose $S = X_{1} + \dots + X_{50}$.
a) Calcule $E(S)$ et $V(S)$.
b) Calcule $E\left(\frac{S}{50}\right)$ et $V\left(\frac{S}{50}\right)$. Que remarque-t-on ?

Un jeu rapporte X euros, avec $E(X) = 2{,}5$ et $\sigma(X) = 1{,}5$. On joue 4 parties indépendantes et on note $S$ le gain total.
a) Calcule $E(S)$ et $\sigma(S)$.
b) La mise est de 2 € par partie. Le joueur est-il gagnant en moyenne ?

X et Y sont indépendantes, avec $E(X) = 5$, $V(X) = 4$, $E(Y) = 5$ et $V(Y) = 4$.
a) Calcule $E(X - Y)$ et $V(X - Y)$.
b) Pourquoi la variance de la différence n'est-elle pas nulle, alors que l'espérance l'est ?

Une variable X suit $\mathcal{B}(100 \,;\, 0{,}5)$.
a) Calcule $E(X)$ et $\sigma(X)$.
b) Donne l'intervalle $[E(X) - 2\sigma \,;\, E(X) + 2\sigma]$ et interprète-le pour 100 lancers d'une pièce équilibrée.

$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes, avec $E(X) = 5$, $V(X) = 4$, $E(Y) = 2$ et $V(Y) = 9$.
a) Calcule $E(2X - 3Y)$ et $V(2X - 3Y)$.
b) Calcule l'écart-type de $2X - 3Y$, arrondi au centième.

On répète 40 fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}25$, et on note $S$ le nombre de succès.
a) Exprime $S$ comme une somme de variables et donne $E(S)$.
b) Calcule $V(S)$ et $\sigma(S)$.