Sommes de variables aléatoires

🟠 Difficile

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1
X et Y sont indépendantes, avec $E(X) = 5$ , $V(X) = 4$ , $E(Y) = 5$ et $V(Y) = 4$ .
a) Calcule $E(X - Y)$ et $V(X - Y)$ .
b) Pourquoi la variance de la différence n'est-elle pas nulle, alors que l'espérance l'est ?
Voir le corrigéoffert
a) $E(X - Y) = 5 - 5 = 0$ .
$V(X - Y) = 1^{2}V(X) + (-1)^{2}V(Y) = 4 + 4 = 8$ .

b) L'espérance nulle dit que les deux variables valent la même chose EN MOYENNE.
Mais chacune fluctue autour de 5, et leurs fluctuations sont indépendantes : elles ne se compensent pas, elles s'ajoutent.
D'où une variance de 8, plus grande que celle de chacune. Le signe $-$ disparaît car il est élevé au carré.
2
X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes telles que $E(X) = 3$ , $V(X) = 2$ , $E(Y) = -1$ et $V(Y) = 5$ .
a) Calcule $E(3X + 2Y)$ et $V(3X + 2Y)$ .
b) Calcule l'écart-type de $3X + 2Y$ , arrondi au centième.
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a) L'espérance est linéaire : $E(3X + 2Y) = 3E(X) + 2E(Y) = 9 - 2 = 7$ .
La variance, pour des variables INDÉPENDANTES, vérifie $V(aX + bY) = a^{2}V(X) + b^{2}V(Y)$ .
$V(3X + 2Y) = 9 \times 2 + 4 \times 5 = 18 + 20 = 38$ .

b) $\sigma = \sqrt{38} \approx 6{,}16$ .
Attention aux carrés : les coefficients sortent au carré dans la variance, mais pas dans l'espérance.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Un jeu rapporte X euros, avec $E(X) = 2{,}5$ et $\sigma(X) = 1{,}5$ . On joue 4 parties indépendantes et on note $S$ le gain total.
a) Calcule $E(S)$ et $\sigma(S)$ .
b) La mise est de 2 € par partie. Le joueur est-il gagnant en moyenne ?
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4
On lance deux dés équilibrés à 6 faces et on note S la somme obtenue.
a) Calcule $E(S)$ et $V(S)$ en utilisant la variable X « résultat d'un dé » (on donne $E(X) = 3{,}5$ et $V(X) = \frac{35}{12}$ ).
b) Calcule l'écart-type de S, arrondi au centième.
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5
$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes, avec $E(X) = 5$ , $V(X) = 4$ , $E(Y) = 2$ et $V(Y) = 9$ .
a) Calcule $E(2X - 3Y)$ et $V(2X - 3Y)$ .
b) Calcule l'écart-type de $2X - 3Y$ , arrondi au centième.
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6
Une variable X suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n \,;\, p)$ , avec $E(X) = 12$ et $V(X) = 4{,}8$ .
a) Retrouve les valeurs de $n$ et de $p$ .
b) Calcule $P(X = n)$ , arrondi au millième.
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7
Une variable X suit $\mathcal{B}(100 \,;\, 0{,}5)$ .
a) Calcule $E(X)$ et $\sigma(X)$ .
b) Donne l'intervalle $[E(X) - 2\sigma \,;\, E(X) + 2\sigma]$ et interprète-le pour 100 lancers d'une pièce équilibrée.
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8
$X_{1}, \dots, X_{50}$ sont 50 variables indépendantes, de même loi, d'espérance 4 et de variance 9. On pose $S = X_{1} + \dots + X_{50}$ .
a) Calcule $E(S)$ et $V(S)$ .
b) Calcule $E\left(\frac{S}{50}\right)$ et $V\left(\frac{S}{50}\right)$ . Que remarque-t-on ?
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9
La loi de X est : $X = -2$ avec la probabilité 0,3 ; $X = 1$ avec la probabilité 0,5 ; $X = 4$ avec la probabilité 0,2.
a) Calcule $E(X)$ et $V(X)$ .
b) On pose $Y = 2X - 1$ . Calcule $E(Y)$ et $\sigma(Y)$ .
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10
On répète 40 fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}25$ , et on note $S$ le nombre de succès.
a) Exprime $S$ comme une somme de variables et donne $E(S)$ .
b) Calcule $V(S)$ et $\sigma(S)$ .
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