Sommes de variables aléatoires

Une machine produit des pièces ; chaque pièce est défectueuse avec la probabilité p=0,05, indépendamment des autres. On prélève n=200 pièces et on note X le nombre de pièces défectueuses.
a) Quelle loi suit X ? Donne E(X), V(X) et une valeur approchée de σ(X).
b) Le contrôle coûte 2 € par pièce et chaque pièce défectueuse fait perdre 15 €. Le coût total est C=400+15X. Calcule E(C) et σ(C).
c) Une seconde machine, indépendante, produit aussi 200 pièces mais avec une probabilité de défaut de 0,03 ; on note Y son nombre de défectueuses. On pose D=X+Y. Calcule E(D), V(D) et une valeur approchée de σ(D).

On lance un dé équilibré à six faces. Le gain X vaut +3 € si l'on obtient un 6, et −1 € sinon.
a) Donne la loi de X, puis E(X) et V(X).
b) On joue 5 parties indépendantes ; T est le gain total. Calcule E(T), V(T) et une valeur approchée de σ(T).
c) On veut que l'écart type du gain moyen Mₙ sur n parties soit inférieur ou égal à 0,2 €. Détermine le plus petit entier n convenable.

X et Y sont deux variables indépendantes avec E(X)=5, V(X)=4, E(Y)=−2 et V(Y)=9.
a) Calcule E(X+Y), V(X+Y) et une valeur approchée de σ(X+Y).
b) Soit Z=3X−2Y+4. Calcule E(Z), V(Z) et σ(Z) (valeur exacte puis approchée).
c) On pose W=X+Y. Trouve le réel a>0 tel que V(aW)=100.

Dans une population, une proportion p=0,4 des personnes est favorable à une mesure. On interroge n=50 personnes au hasard, de façon indépendante ; X est le nombre de personnes favorables.
a) Quelle loi suit X ? Donne E(X), V(X) et une valeur approchée de σ(X).
b) On considère la fréquence F=$\frac{X}{50}$. Calcule E(F), V(F) et une valeur approchée de σ(F).
c) Montre que σ(F)=√($\frac{p(1-p)}{n}$) et vérifie numériquement.

Une urne contient des boules numérotées 1, 2, 3, 4 (équiprobables). On tire une boule avec remise, deux fois de suite (tirages indépendants) ; on note X₁ et X₂ les numéros obtenus et S=X₁+X₂.
a) Calcule E(X₁) et V(X₁).
b) Calcule E(S), V(S) et une valeur approchée de σ(S).
c) On répète le tirage n fois et on considère la moyenne Mₙ des numéros. Détermine le plus petit n tel que σ(Mₙ)≤0,1.

Une compagnie assure 1000 clients indépendants. Chaque client a la probabilité 0,02 de subir un sinistre coûtant 500 €. On note Xᵢ le coût pour le client i, et T le coût total.
a) Donne la loi de Xᵢ (valeurs et probabilités), puis E(Xᵢ) et V(Xᵢ).
b) Calcule E(T), V(T) et une valeur approchée de σ(T).
c) La prime totale encaissée est de 12000 €. Le bénéfice est B=12000−T. Calcule E(B) et σ(B), et commente le signe de E(B).

Une variable X vérifie E(X)=10 et V(X)=16.
a) Donne σ(X), puis calcule E(2X−5), V(2X−5) et σ(2X−5).
b) On cherche une variable Y=aX+b (avec a>0) qui soit centrée réduite, c'est-à-dire E(Y)=0 et V(Y)=1. Détermine a et b.
c) Vérifie que la variable Y trouvée a bien E(Y)=0 et V(Y)=1.

Trois variables indépendantes X, Y, Z vérifient E(X)=1, E(Y)=2, E(Z)=3 et V(X)=2, V(Y)=1, V(Z)=3.
a) Soit S=X+Y+Z. Calcule E(S), V(S) et une valeur approchée de σ(S).
b) Soit A=2X−Y+Z. Calcule E(A) et V(A).
c) Soit D=X+Y−Z. Calcule V(D) et compare à V(S). Explique le résultat.

La variable X suit la loi binomiale B(40 ; 0,25).
a) Calcule E(X), V(X) et une valeur approchée de σ(X).
b) On note U=40−X le nombre d'échecs. Quelle loi suit U ? Calcule E(U) et V(U), et compare V(U) à V(X).
c) Un score est défini par N=5X+10. Calcule E(N), V(N) et une valeur approchée de σ(N).

Dans une usine, la masse d'un sac a pour moyenne μ=50 kg et pour écart type σ=1,2 kg. On prélève n sacs indépendants.
a) Pour n=36, calcule E(S₃₆), V(S₃₆) et σ(S₃₆) où S est la somme des masses, puis E(M₃₆) et σ(M₃₆) pour la moyenne.
b) On veut estimer μ par Mₙ avec une précision σ(Mₙ)≤0,1 kg. Détermine le plus petit entier n.
c) Avec ce n, calcule σ(Sₙ).