Sommes de variables aléatoires

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1
Trois variables indépendantes X, Y, Z vérifient $E(X)=1$ , $E(Y)=2$ , $E(Z)=3$ et $V(X)=2$ , $V(Y)=1$ , $V(Z)=3$ .
Soit $D=X+Y-Z$ . Calcule V(D) et compare à V(S). Explique le résultat.
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a) $E(S)=E(X)+E(Y)+E(Z)=1+2+3=6$ .
Les trois variables sont indépendantes, donc les variances s'ajoutent :
$V(S)=V(X)+V(Y)+V(Z)=2+1+3=6$ .
$\sigma (S)=\sqrt{6}\approx 2{,}45$ .
b) $E(A)=2\times E(X)-E(Y)+E(Z)=2\times 1-2+3=3$ .
$V(A)=2^{2}\times V(X)+(-1)^{2}\times V(Y)+1^{2}\times V(Z)=4\times 2+1+3=8+1+3=12$ .
c) $V(D)=V(X)+V(Y)+(-1)^{2}\times V(Z)=2+1+3=6$ .
On trouve $V(D)=6$ , exactement comme $V(S)=6$ .
Explication : soustraire une variable indépendante ajoute quand même sa variance, car le coefficient $-1$ passe au carré : $(-1)^{2}=1$ . La variance mesure une dispersion, qui ne peut pas diminuer en combinant des variables indépendantes de cette façon.
2
Dans une usine, la masse d'un sac a pour moyenne $\mu =50\,\text{kg}$ et pour écart type $\sigma =1{,}2\,\text{kg}$ . On prélève n sacs indépendants.
Avec ce n, calcule σ( $S_n$ ).
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a) Somme : $E(S_{36})=n\times \mu =36\times 50=1800$ .
$V(S_{36})=n\times \sigma ^{2}=36\times (1{,}2)^{2}=36\times 1{,}44=51{,}84$ .
$\sigma (S_{36})=\sqrt{51{,}84}=7{,}2$ .
Moyenne : $E(M_{36})=\mu =50$ .
$\sigma (M_{36})=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{1{,}2}{\sqrt{36}}=\frac{1{,}2}{6}=0{,}2$ .
b) On veut $\sigma (M_{n})=\frac{1{,}2}{\sqrt{n}}\le 0{,}1$ , soit $\sqrt{n}\ge \frac{1{,}2}{0{,}1}=12$ , donc $n\ge 12^{2}=144$ .
Le plus petit entier convenable est $n=144$ .
c) Pour $n=144$ : $\sigma (S_{n})=\sigma \times \sqrt{n}=1{,}2\times \sqrt{144}=1{,}2\times 12=14{,}4\,\text{kg}$ .
(On vérifie la cohérence : $\sigma (M_{n})=\frac{\sigma (S_{n})}{n}=\frac{14{,}4}{144}=0{,}1$ . ✓)
3
X et Y sont deux variables indépendantes avec $E(X)=5$ , $V(X)=4$ , $E(Y)=-2$ et $V(Y)=9$ .
On pose $W=X+Y$ . Trouve le réel $a>0$ tel que $V(aW)=100$ .
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4
Dans une population, une proportion $p=0{,}4$ des personnes est favorable à une mesure. On interroge $n=50$ personnes au hasard, de façon indépendante ; X est le nombre de personnes favorables.
Montre que $\sigma (F)=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ et vérifie numériquement.
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5
La variable X suit la loi binomiale B(40 ; 0,25).
Un score est défini par $N=5X+10$ . Calcule E(N), V(N) et une valeur approchée de σ(N).
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6
On lance un dé équilibré à six faces. Le gain X vaut $+3$ € si l'on obtient un 6, et $-1$ € sinon.
On veut que l'écart type du gain moyen $M_n$ sur n parties soit inférieur ou égal à 0,2 €. Détermine le plus petit entier n convenable.
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7
Une variable X vérifie $E(X)=10$ et $V(X)=16$ .
Vérifie que la variable Y trouvée a bien $E(Y)=0$ et $V(Y)=1$ .
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8
Une urne contient des boules numérotées 1, 2, 3, 4 (équiprobables). On tire une boule avec remise, deux fois de suite (tirages indépendants) ; on note $X_{1}$ et $X_{2}$ les numéros obtenus et $S=X_{1}+X_{2}$ .
On répète le tirage n fois et on considère la moyenne $M_n$ des numéros. Détermine le plus petit n tel que $\sigma (M_{n})\le 0{,}1$ .
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9
Une compagnie assure 1000 clients indépendants. Chaque client a la probabilité 0,02 de subir un sinistre coûtant 500 €. On note $X_i$ le coût pour le client i, et T le coût total.
La prime totale encaissée est de 12000 €. Le bénéfice est $B=12000-T$ . Calcule E(B) et σ(B), et commente le signe de E(B).
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10
Une machine produit des pièces ; chaque pièce est défectueuse avec la probabilité $p=0{,}05$ , indépendamment des autres. On prélève $n=200$ pièces et on note X le nombre de pièces défectueuses.
Une seconde machine, indépendante, produit aussi 200 pièces mais avec une probabilité de défaut de 0,03 ; on note Y son nombre de défectueuses. On pose $D=X+Y$ . Calcule E(D), V(D) et une valeur approchée de σ(D).
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