Sommes de variables aléatoires

🟢 Facile

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1
On donne $E(X)=2$ , $E(Y)=-1$ et $E(Z)=4$ . Calcule $E(X+Y+Z)$ et $E(2X+Z)$ .
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La linéarité de l'espérance s'étend à plusieurs variables.
$E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)=2+(-1)+4=5$ .
$E(2X+Z)=2\times E(X)+E(Z)=2\times 2+4=4+4=8$ .
2
On donne $V(X)=3$ . Calcule V(4X) et $V(2X+9)$ .
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On utilise $V(aX+b)=a^{2}\times V(X)$ : le coefficient passe au carré et le $+b$ disparaît.
$V(4X)=4^{2}\times V(X)=16\times 3=48$ .
$V(2X+9)=2^{2}\times V(X)=4\times 3=12$ .
Le $+9$ n'a aucun effet sur la variance : ajouter une constante décale les valeurs mais ne change pas la dispersion.
3
X et Y sont deux variables indépendantes avec $V(X)=5$ et $V(Y)=2$ . Calcule $V(X+Y)$ et $V(X-Y)$ .
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4
On sait que $E(X)=4$ . Calcule $E(3X+7)$ et $E(-2X+5)$ .
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5
Une variable de Bernoulli X prend la valeur 1 avec la probabilité 0,4 et la valeur 0 sinon. Calcule E(X) et V(X).
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6
La variable X suit la loi binomiale B(20 ; 0,3). Calcule E(X) et V(X).
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7
On donne $E(X)=8$ et $E(Y)=3$ . Calcule $E(X+Y)$ , $E(X-Y)$ et E(5X).
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8
La variable X suit la loi binomiale B(50 ; 0,1). Calcule E(X), V(X) puis une valeur approchée de l'écart type σ(X).
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9
On considère la moyenne M d'un échantillon de taille $n=16$ d'une variable de moyenne $\mu =6$ et d'écart type $\sigma =2$ . Calcule E(M) et σ(M).
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10
On observe un échantillon de taille 25 d'une variable dont la moyenne vaut $\mu =10$ et la variance vaut $\sigma ^{2}=4$ . On note S la somme des 25 valeurs. Calcule E(S) et V(S).
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