Suites : limites et convergence

Soit la suite définie par $u_n = n^{2} - 7n$.
a) Détermine $\lim_{n \to +\infty} u_n$.
b) À partir de quel rang les termes sont-ils positifs ?

Soit la suite définie pour $n \ge 1$ par $u_n = \frac{5n + 2}{n + 3}$.
a) Détermine sa limite.
b) La suite est-elle croissante ? Justifie en calculant $u_{n+1} - u_n$ ou en observant les premiers termes.

Soit la suite définie pour $n \ge 1$ par $u_n = \frac{3n^{2} - 2}{n^{2} + 4n}$.
a) Détermine sa limite.
b) Que vaudrait la limite si le numérateur était $3n^{3} - 2$ ?

Soit la suite définie pour $n \ge 1$ par $u_n = \frac{(-1)^{n}}{n}$.
a) Encadre $u_n$ par deux suites de limite nulle.
b) Conclus par le théorème des gendarmes.

Soit la suite définie par $u_n = n + (-1)^{n}$.
a) Minore $u_n$ par une suite tendant vers $+\infty$.
b) Conclus, et dis si la suite est croissante.

Soit la suite définie par $u_n = 4 \times 0{,}7^{n}$.
a) Détermine sa limite en justifiant.
b) À partir de quel rang a-t-on $u_n < 0{,}01$ ?

Soit la suite définie par $u_n = 2^{n} - n^{2}$.
a) Calcule $u_0$ à $u_5$.
b) Quelle est la limite de la suite ? Justifie.

Soit la suite définie pour $n \ge 1$ par $u_n = \frac{6n - 5}{3n + 1}$.
a) Détermine sa limite.
b) Montre que $u_n < 2$ pour tout $n \ge 1$.

Soit la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 0{,}5u_n + 4$.
a) Calcule $u_1$, $u_2$ et $u_3$, puis conjecture la limite.
b) Vérifie ta conjecture en résolvant $\ell = 0{,}5\ell + 4$.

Soit la suite définie pour $n \ge 1$ par $u_n = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$.
a) Montre que $u_n = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$.
b) Déduis-en la limite de la suite.