Suites : limites et convergence

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1
Pour chacune des suites géométriques (qⁿ) suivantes, donne la limite quand n tend vers +∞ : a) q = 1,4 ; b) q = 0,6 ; c) q = 1 ; d) q = −2.
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On applique le cours sur le comportement de qⁿ selon la valeur de q.
a) q = 1,4 > 1 : les puissances explosent, donc (1,4)ⁿ → +∞.
b) q = 0,6, or −1 < 0,6 < 1 (donc |q| < 1) : les puissances fondent vers 0, donc (0,6)ⁿ → 0.
c) q = 1 : la suite est constante égale à 1, donc 1ⁿ → 1.
d) q = −2, or q ≤ −1 : les termes valent 1, −2, 4, −8, 16… ils oscillent en changeant de signe et en grandissant, donc (−2)ⁿ n'a pas de limite.
2
Détermine la limite de la suite définie pour n ≥ 1 par uₙ = 3 + $\frac{2}{n}$ .
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On étudie séparément les morceaux de l'expression.
Quand n → +∞, le dénominateur n devient très grand, donc la fraction $\frac{2}{n}$ tend vers 0.
On ajoute la constante 3 : uₙ = 3 + $\frac{2}{n}$ → 3 + 0 = 3.
Conclusion : lim uₙ = 3. La suite converge vers 3.
Vérification : u₁ = 3 + 2 = 5 ; u₁₀ = 3 + 0,2 = 3,2 ; u₁₀₀ = 3,02. Les termes se rapprochent bien de 3.
3
La suite (uₙ) est définie par uₙ = 4n − 7. Détermine sa limite quand n tend vers +∞.
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4
Détermine la limite de la suite définie par uₙ = (0,3)ⁿ.
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5
Détermine la limite de la suite définie par uₙ = −2n² + 5.
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6
Détermine la limite de la suite définie pour n ≥ 1 par uₙ = 5 − $\frac{1}{n^{2}}$ .
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7
Détermine la limite de la suite définie par uₙ = √n + 1.
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8
Parmi les suites suivantes, indique lesquelles convergent et lesquelles divergent : a) uₙ = (−1)ⁿ ; b) uₙ = $\frac{1}{n}$ ; c) uₙ = 2ⁿ ; d) uₙ = 3.
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9
Une suite géométrique a pour raison q = $\frac{3}{2}$ et pour premier terme u₀ = 2 ; on a donc uₙ = 2 × ( $\frac{3}{2}$ )ⁿ. Détermine sa limite en justifiant.
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10
Détermine la limite de la suite définie par uₙ = 7 − 3n.
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