Suites : limites et convergence

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1
Détermine la limite de la suite définie par $u_{n} = (0{,}3)^{n}$ .
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Il s'agit d'une suite géométrique de raison $q = 0{,}3$ .
Comme $-1 < 0{,}3 < 1$ , on $a |q| < 1$ , donc les puissances tendent vers 0.
Conclusion : $\lim u_{n} = 0$ . La suite converge vers 0.
Vérification : $u_{1} = 0{,}3$ ; $u_{2} = 0{,}09$ ; $u_{3} = 0{,}027$ . Chaque terme est bien plus petit que le précédent et se rapproche de 0.
2
Détermine la limite de la suite définie par $u_{n} = \sqrt{n} + 1$ .
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Le terme dominant est $\sqrt{n}$ .
Quand $n \to +\infty$ , la racine carrée $\sqrt{n} \to +\infty$ (elle croît sans limite, même si c'est lentement).
Ajouter 1 ne change pas le comportement : $+\infty + 1 = +\infty$ .
Conclusion : $\lim u_{n} = +\infty$ .
Contrôle : $u_{1} = 2$ ; $u_{100} = 11$ ; $u_{10000} = 101$ . Les termes grandissent bien sans borne.
3
Détermine la limite de la suite définie par $u_{n} = -2n^{2} + 5$ .
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4
Détermine la limite de la suite définie par $u_{n} = 7 - 3n$ .
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5
La suite ( $u_n$ ) est définie par $u_{n} = 4n - 7$ . Détermine sa limite quand n tend vers $+\infty$ .
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6
Détermine la limite de la suite définie pour $n \ge 1$ par $u_{n} = 3 + \frac{2}{n}$ .
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7
Détermine la limite de la suite définie pour $n \ge 1$ par $u_{n} = 5 - \frac{1}{n^{2}}$ .
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8
Une suite géométrique a pour raison $q = \frac{3}{2}$ et pour premier terme $u_{0} = 2$ ; on a donc $u_{n} = 2 \times (\frac{3}{2})^{n}$ . Détermine sa limite en justifiant.
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9
Pour chacune des suites géométriques (qⁿ) suivantes, donne la limite quand n tend vers $+\infty$ :
a) $q = 1{,}4$ ;
b) $q = 0{,}6$ ;
c) $q = 1$ ;
d) $q = -2$ .
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10
Parmi les suites suivantes, indique lesquelles convergent et lesquelles divergent :
a) $u_{n} = (-1)^{n}$ ;
b) $u_{n} = \frac{1}{n}$ ;
c) $u_{n} = 2^{n}$ ;
d) $u_{n} = 3$ .
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