Suites : limites et convergence

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1
Détermine la limite de la suite définie par $u_{n} = n + (-1)^{n}$ , en utilisant un théorème de comparaison.
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Le terme $(-1)^{n}$ empêche un calcul direct, mais on peut le minorer.
Pour tout n, on a $(-1)^{n} \ge -1$ , donc $u_{n} = n + (-1)^{n} \ge n - 1$ .
Étude du minorant : $n - 1 \to +\infty$ quand $n \to +\infty$ .
Théorème de comparaison : si $u_{n} \ge v_{n}$ à partir d'un certain rang et $v_{n} \to +\infty$ , alors $u_{n} \to +\infty$ .
Conclusion : $\lim u_{n} = +\infty$ .
Pour en être sûr : $u_{1} = 0$ ; $u_{2} = 3$ ; $u_{3} = 2$ ; $u_{4} = 5$ . Malgré les oscillations, la suite monte vers $+\infty$ .
2
Détermine la limite de la suite définie pour $n \ge 1$ par $u_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n}$ , en utilisant le théorème des gendarmes.
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Le numérateur (−1)ⁿ vaut alternativement 1 et −1 : on ne peut pas calculer la limite directement, on encadre.
Comme −1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1, en divisant par n > 0 (qui garde le sens des inégalités) : − $\frac{1}{n}$ ≤ $u_n$ ≤ $\frac{1}{n}$ .
Étude des bornes : $\frac{1}{n}$ → 0, donc − $\frac{1}{n}$ → 0 aussi.
Les deux « gendarmes » tendent vers la même limite 0, donc $u_n$ est coincée et tend vers 0.
Lim $u_n$ = 0.
Un dernier contrôle : $u_1$ = −1 ; $u_2$ = 0,5 ; $u_3$ ≈ −0,33 ; $u_4$ = 0,25. L'amplitude diminue vers 0.
3
Détermine la limite de la suite définie par $u_{n} = \frac{3^{n}}{3^{n} + 2^{n}}$ .
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4
Détermine la limite de la suite définie par $u_{n} = n^{2} - 5n$ .
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5
Détermine la limite de la suite définie par $u_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ .
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6
Détermine la limite de la suite définie pour $n \ge 1$ par $u_{n} = \frac{4n - 3}{2n + 1}$ .
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7
Détermine la limite de la suite définie pour $n \ge 1$ par $u_{n} = \frac{2n^{2} - 1}{n^{2} + n}$ .
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8
On pose $S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{n}}$ (somme des puissances de $\frac{1}{2}$ de l'exposant 0 à n). Détermine la limite de $S_n$ .
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9
Détermine la limite de la suite définie pour $n \ge 1$ par $u_{n} = \frac{3n + 1}{n + 2}$ .
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10
Détermine la limite de la suite définie pour $n \ge 1$ par $u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{n + 3}$ .
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