Suites : limites et convergence

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1
Détermine la limite de la suite définie par uₙ = n² − 5n.
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En remplaçant directement, on obtient « +∞ − ∞ » : c'est une forme indéterminée, il faut transformer l'écriture.
On factorise par le terme dominant n² : uₙ = n²(1 − $\frac{5}{n}$ ).
Étude des facteurs : n² → +∞, et $\frac{5}{n}$ → 0 donc (1 − $\frac{5}{n}$ ) → 1 (un nombre strictement positif).
Produit d'un terme qui tend vers +∞ par un terme qui tend vers 1 : uₙ → +∞.
Conclusion : lim uₙ = +∞.
Vérification : u₁₀ = 100 − 50 = 50 ; u₁₀₀ = 10 000 − 500 = 9 500. La suite grandit bien.
2
Détermine la limite de la suite définie pour n ≥ 1 par uₙ = $\frac{3n + 1}{n + 2}$ .
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En remplaçant directement, on obtient la forme indéterminée « ∞/∞ ».
On factorise par n au numérateur et au dénominateur : uₙ = $\frac{n(3 + 1/n)}{n(1 + 2/n)}$ .
On simplifie les n : uₙ = $\frac{3 + 1}{n/1 + 2/n}$ .
Quand n → +∞ : $\frac{1}{n}$ → 0, donc le numérateur → 3 et le dénominateur → 1.
Ainsi uₙ → $\frac{3}{1}$ = 3.
Conclusion : lim uₙ = 3.
Vérification : u₁₀ = $\frac{31}{12}$ ≈ 2,58 ; u₁₀₀ = $\frac{301}{102}$ ≈ 2,95. On se rapproche de 3.
3
Détermine la limite de la suite définie pour n ≥ 1 par uₙ = $\frac{2n^{2} - 1}{n^{2} + n}$ .
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4
Détermine la limite de la suite définie pour n ≥ 1 par uₙ = $\frac{(-1)^{n}}{n}$ , en utilisant le théorème des gendarmes.
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5
Détermine la limite de la suite définie par uₙ = n + (−1)ⁿ, en utilisant un théorème de comparaison.
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6
Détermine la limite de la suite définie pour n ≥ 1 par uₙ = $\frac{4n - 3}{2n + 1}$ .
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7
Détermine la limite de la suite définie pour n ≥ 1 par uₙ = $\frac{n^{2} + 1}{n + 3}$ .
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8
Détermine la limite de la suite définie par uₙ = √(n + 1) − √n.
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9
On pose Sₙ = 1 + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ + … + $\frac{1}{2^{n}}$ (somme des puissances de $\frac{1}{2}$ de l'exposant 0 à n). Détermine la limite de Sₙ.
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10
Détermine la limite de la suite définie par uₙ = $\frac{3^{n}}{3^{n} + 2^{n}}$ .
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