Suites : limites et convergence

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On définit la suite (uₙ) par u₀ = 1 et, pour tout n, uₙ₊₁ = √(2uₙ + 3). a) Démontre par récurrence que, pour tout n, 1 ≤ uₙ ≤ 3. b) Démontre que la suite est croissante. c) Déduis-en que (uₙ) converge et détermine sa limite.
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a) Récurrence sur la propriété P(n) : « 1 ≤ uₙ ≤ 3 ».
Initialisation : u₀ = 1, donc 1 ≤ u₀ ≤ 3 : P(0) est vraie.
Hérédité : supposons 1 ≤ uₙ ≤ 3. Alors 2 ≤ 2uₙ ≤ 6, puis 5 ≤ 2uₙ + 3 ≤ 9. La fonction racine étant croissante : √5 ≤ √(2uₙ + 3) ≤ √9, soit environ 2,24 ≤ uₙ₊₁ ≤ 3. En particulier 1 ≤ uₙ₊₁ ≤ 3 : P(n + 1) est vraie.
Conclusion : pour tout n, 1 ≤ uₙ ≤ 3.

b) On étudie le signe de uₙ₊₁ − uₙ = √(2uₙ + 3) − uₙ. Comme uₙ > 0, ce signe est celui de (2uₙ + 3) − uₙ² (on compare les carrés de deux nombres positifs).
Or 2uₙ + 3 − uₙ² = −(uₙ² − 2uₙ − 3) = −(uₙ − 3)(uₙ + 1).
D'après a), 1 ≤ uₙ ≤ 3 : donc (uₙ − 3) ≤ 0 et (uₙ + 1) > 0, d'où (uₙ − 3)(uₙ + 1) ≤ 0, et −(uₙ − 3)(uₙ + 1) ≥ 0.
Ainsi uₙ₊₁ − uₙ ≥ 0 : la suite est croissante.

c) La suite (uₙ) est croissante et majorée par 3 : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel ℓ, avec ℓ ≤ 3.
Comme uₙ₊₁ = √(2uₙ + 3), en passant à la limite (la fonction est continue) : ℓ = √(2ℓ + 3), donc ℓ² = 2ℓ + 3, soit ℓ² − 2ℓ − 3 = 0, c'est-à-dire (ℓ − 3)(ℓ + 1) = 0.
Les solutions sont ℓ = 3 et ℓ = −1. Or uₙ ≥ 1 > 0, donc la limite est positive : ℓ = 3.
Conclusion : lim uₙ = 3.
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Une population de bactéries perd 5 % de son effectif chaque heure ; on modélise l'effectif (en milliers) par uₙ = (0,95)ⁿ. a) Détermine la limite de (uₙ) et interprète. b) Montre que la suite (uₙ) est décroissante. c) En calculant des valeurs successives (principe de l'algorithme de seuil), détermine le plus petit entier n pour lequel l'effectif devient strictement inférieur à 0,01 (soit 1 % de l'effectif initial).
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a) uₙ = (0,95)ⁿ est géométrique de raison q = 0,95, avec −1 < q < 1, donc |q| < 1 : uₙ → 0.
Interprétation : à long terme, la population s'éteint (l'effectif tend vers 0).

b) Tous les termes sont strictement positifs (produit de facteurs 0,95 > 0). On compare deux termes consécutifs par leur quotient : $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ = $\frac{(0{,}95)^{n+1}}{(0{,}95)^{n}}$ = 0,95 < 1.
Comme uₙ > 0, multiplier par 0,95 diminue la valeur : uₙ₊₁ = 0,95 × uₙ < uₙ. La suite est donc décroissante.
Conséquence utile : dès qu'un terme passe sous le seuil 0,01, tous les suivants y restent aussi.

c) Comme la suite décroît vers 0, on calcule les termes de proche en proche jusqu'à passer sous 0,01. C'est le principe de l'algorithme de seuil : on part de u = 1 et n = 0, puis on répète u ← u × 0,95 et n ← n + 1 tant que u ≥ 0,01.
Quelques valeurs repères obtenues à la calculatrice : u₁₀ ≈ 0,599 ; u₅₀ ≈ 0,0769 ; u₈₀ ≈ 0,0165 ; u₈₅ ≈ 0,0128 ; u₈₉ ≈ 0,0104 ; u₉₀ ≈ 0,00989.
On observe que u₈₉ ≈ 0,0104 > 0,01 (le seuil n'est pas encore franchi) alors que u₉₀ ≈ 0,00989 < 0,01 (c'est bon).
Conclusion : le plus petit entier convenable est n = 90. C'est à la 90ᵉ heure que l'effectif descend strictement sous 1 % de sa valeur initiale.
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On considère la suite définie pour n ≥ 1 par uₙ = $\frac{2n + (-1)^{n}}{n + 1}$ . a) Justifie l'encadrement $\frac{2n - 1}{n + 1}$ ≤ uₙ ≤ $\frac{2n + 1}{n + 1}$ . b) Détermine les limites des deux bornes. c) Conclus sur la limite de (uₙ).
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On pose, pour n ≥ 1, Sₙ = $\frac{1}{1 \times 2}$ + $\frac{1}{2 \times 3}$ + $\frac{1}{3 \times 4}$ + … + $\frac{1}{n \times (n + 1)}$ . a) Vérifie que, pour tout entier k ≥ 1, $\frac{1}{k(k + 1)}$ = $\frac{1}{k}$ − $\frac{1}{k + 1}$ . b) Déduis-en une expression simple de Sₙ. c) Détermine la limite de (Sₙ).
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On définit (uₙ) par u₀ = 0 et, pour tout n, uₙ₊₁ = $\frac{1}{3}$ uₙ + 4. On pose vₙ = uₙ − 6. a) Démontre que (vₙ) est géométrique et précise sa raison et son premier terme. b) Exprime vₙ puis uₙ en fonction de n. c) Détermine la limite de (uₙ).
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On considère la suite définie par uₙ = √(n² + n) − n. a) Montre que uₙ = $\frac{n}{\sqrt{n^{2} + n} + n}$ . b) Factorise par n sous la racine puis simplifie l'expression. c) Détermine la limite de (uₙ).
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Pour n ≥ 1, on pose Sₙ = $\frac{1}{n^{2} + 1}$ + $\frac{1}{n^{2} + 2}$ + … + $\frac{1}{n^{2} + n}$ (somme de n termes). a) Justifie l'encadrement $\frac{n}{n^{2} + n}$ ≤ Sₙ ≤ $\frac{n}{n^{2} + 1}$ . b) Détermine les limites des deux bornes. c) Conclus sur la limite de (Sₙ).
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Un capital de 1 000 € est placé à 5 % par an ; chaque année, juste après les intérêts, on retire 30 €. On modélise le capital par u₀ = 1 000 et uₙ₊₁ = 1,05uₙ − 30. On pose vₙ = uₙ − 600. a) Montre que (vₙ) est géométrique de raison 1,05. b) Exprime uₙ en fonction de n. c) Détermine la limite de (uₙ) et interprète.
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On considère la suite définie par uₙ = $\frac{3^{n} - 2^{n}}{3^{n} + 2^{n}}$ . a) Mets ( $\frac{2}{3}$ )ⁿ en évidence en factorisant par 3ⁿ le numérateur et le dénominateur. b) Détermine la limite de ( $\frac{2}{3}$ )ⁿ. c) Conclus sur la limite de (uₙ).
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On définit la suite (uₙ) par u₀ = 2 et, pour tout n, uₙ₊₁ = $\frac{u_{n}^{2} + 2}{2u_{n}}$ . a) Démontre que, pour tout n ≥ 0, uₙ ≥ √2. b) Démontre que la suite est décroissante à partir du rang 0. c) Déduis-en que (uₙ) converge et détermine sa limite.
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