Suites : limites et convergence

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1
On considère la suite définie par $u_{n} = \sqrt{n^{2} + n} - n$ .
Détermine la limite de ( $u_n$ ).
Voir le corrigéoffert
a) On reconnaît la forme indéterminée « $+\infty - \infty$ ». On multiplie et divise par la quantité conjuguée $\sqrt{n^{2} + n} + n$ :
$u_{n} = \frac{(\sqrt{n^{2} + n} - n)(\sqrt{n^{2} + n} + n)}{\sqrt{n^{2} + n} + n} = \frac{(n^{2} + n) - n^{2}}{\sqrt{n^{2} + n} + n} = \frac{n}{\sqrt{n^{2} + n} + n}$ .

b) Sous la racine, on factorise par $n^{2}$ : $\sqrt{n^{2} + n} = \sqrt{n^{2}(1 + \frac{1}{n})} = n\sqrt{1 + \frac{1}{n}}$ (car $n > 0$ ).
Donc $u_{n} = \frac{n}{n\sqrt{1 + 1/n} + n} = \frac{n}{n(\sqrt{1 + 1/n} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1/n} + 1}$ .

c) Quand $n \to +\infty$ , $\frac{1}{n} \to 0$ , donc $\sqrt{1 + \frac{1}{n}} \to \sqrt{1} = 1$ , et le dénominateur $\to 1 + 1 = 2$ .
Ainsi $u_{n} \to \frac{1}{2}$ .
Conclusion : $\lim u_{n} = \frac{1}{2} = 0{,}5$ .
Vérification : $u_{1} = \sqrt{2} - 1 \approx 0{,}41$ ; $u_{100} = \sqrt{10} 100 - 100 \approx 0{,}4988$ . On se rapproche de 0,5.
2
On considère la suite définie pour $n \ge 1$ par $u_{n} = \frac{2n + (-1)^{n}}{n + 1}$ .
Donne la limite de ( $u_n$ ), en justifiant.
Voir le corrigéoffert
a) Pour tout n, on a −1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1. On ajoute 2n : 2n − 1 ≤ 2n + (−1)ⁿ ≤ 2n + 1.
On divise par n + 1, qui est strictement positif (donc le sens des inégalités est conservé) :
$\frac{2n - 1}{n + 1}$ ≤ $\frac{2n + (-1)^{n}}{n + 1}$ ≤ $\frac{2n + 1}{n + 1}$ , ce qui est l'encadrement demandé.

b) Borne de gauche : $\frac{2n - 1}{n + 1}$ . On factorise par n : $\frac{n(2 - 1/n)}{n(1 + 1/n)}$ = $\frac{2 - 1}{n/1 + 1/n}$ → $\frac{2}{1}$ = 2.
Borne de droite : $\frac{2n + 1}{n + 1}$ = $\frac{2 + 1}{n/1 + 1/n}$ → $\frac{2}{1}$ = 2.
Les deux bornes tendent vers 2.

c) D'après le théorème des gendarmes, $u_n$ est coincée entre deux suites de limite 2, donc $u_n$ → 2.
Lim $u_n$ = 2.
Je vérifie : $u_2$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1,67 ; $u_{100}$ = $\frac{201}{101}$ ≈ 1,99. On se rapproche bien de 2.
3
On considère la suite définie par $u_{n} = \frac{3^{n} - 2^{n}}{3^{n} + 2^{n}}$ .
Donne la limite de ( $u_n$ ), en justifiant.
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4
Pour $n \ge 1$ , on pose $S_{n} = \frac{1}{n^{2} + 1} + \frac{1}{n^{2} + 2} + \dots + \frac{1}{n^{2} + n}$ (somme de n termes).
Donne la limite de ( $S_n$ ), en justifiant.
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5
On pose, pour $n \ge 1$ , $S_{n} = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n + 1)}$ .
Détermine la limite de ( $S_n$ ).
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6
On définit la suite ( $u_n$ ) par $u_{0} = 2$ et, pour tout n, $u_{n+1} = \frac{u_{n}^{2} + 2}{2u_{n}}$ .
Montre que ( $u_n$ ) converge, et détermine sa limite.
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7
On définit ( $u_n$ ) par $u_{0} = 0$ et, pour tout n, $u_{n+1} = \frac{1}{3}u_{n} + 4$ . On pose $v_{n} = u_{n} - 6$ .
Détermine la limite de ( $u_n$ ).
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8
Une population de bactéries perd 5 % de son effectif chaque heure ; on modélise l'effectif (en milliers) par $u_{n} = (0{,}95)^{n}$ .
En calculant des valeurs successives (principe de l'algorithme de seuil), détermine le plus petit entier n pour lequel l'effectif devient strictement inférieur à 0,01 (soit 1 % de l'effectif initial).
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9
On définit la suite ( $u_n$ ) par $u_{0} = 1$ et, pour tout n, $u_{n+1} = \sqrt{2u_{n} + 3}$ .
Montre que ( $u_n$ ) converge, et détermine sa limite.
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10
Un capital de 1 000 € est placé à 5 % par an ; chaque année, juste après les intérêts, on retire 30 €. On modélise le capital par $u_{0} = 1 000$ et $u_{n+1} = 1{,}05u_{n} - 30$ . On pose $v_{n} = u_{n} - 600$ .
a) Montre que ( $v_n$ ) est géométrique de raison 1,05.
b) Exprime $u_n$ en fonction de n.
c) Détermine la limite de ( $u_n$ ) et interprète.
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