Fonctions trigonométriques

🟠 Difficile

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1
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x + \sin(x)$ .
a) Calcule $f'(x)$ et donne son signe.
b) Que peut-on en conclure sur les variations de $f$ ?
Voir le corrigéoffert
a) $f'(x) = 1 + \cos(x)$ .
Or $-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1$ , donc $0 \leqslant 1 + \cos(x) \leqslant 2$ .
$f'(x) \geqslant 0$ pour tout réel $x$ .

b) La dérivée est positive ou nulle : $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ .
Elle s'annule aux points où $\cos(x) = -1$ , c'est-à-dire $x = \pi + 2k\pi$ : la courbe y admet une tangente horizontale, sans que la croissance s'interrompe.
2
On pose $f(x) = \sin^{2}(x)$ .
a) Montre que $f'(x) = \sin(2x)$ .
b) Déduis-en une primitive de $\sin(2x)$ sur $\mathbb{R}$ .
Voir le corrigéoffert
a) $f = u^{2}$ avec $u = \sin(x)$ , donc $f' = 2uu' = 2\sin(x)\cos(x)$ .
Or la formule de duplication donne $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ .
Donc $f'(x) = \sin(2x)$ .

b) Une primitive d'une fonction est une fonction dont elle est la dérivée.
Comme $\left(\sin^{2}(x)\right)' = \sin(2x)$ , la fonction $x \mapsto \sin^{2}(x)$ est une primitive de $\sin(2x)$ .
(On peut aussi écrire $-\frac{1}{2}\cos(2x)$ : les deux ne diffèrent que d'une constante.)
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
a) Résous l'équation $\cos(x) = -\frac{1}{2}$ sur $[-\pi \,;\, \pi]$ .
b) Résous la même équation sur $[0 \,;\, 2\pi]$ .
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4
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(2x)$ .
a) Calcule $f'(x)$ .
b) Détermine une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $\frac{\pi}{4}$ .
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5
a) Résous l'inéquation $\sin(x) \geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$ sur $[0 \,;\, 2\pi]$ .
b) Combien de solutions cette inéquation a-t-elle sur $[0 \,;\, 4\pi]$ ? Justifie sans nouveau calcul.
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6
On considère $\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)$ et $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)$ .
a) Place $\frac{7\pi}{6}$ sur le cercle trigonométrique et donne ces deux valeurs exactes.
b) Déduis-en $\cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right)$ et $\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)$ .
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7
Résous l'équation $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
a) Sur l'intervalle $[0 \,;\, 2\pi]$ .
b) Sur l'intervalle $[-\pi \,;\, \pi]$ .
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8
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(2x)$ .
a) Calcule $f'(x)$ et résous $f'(x) = 0$ sur $[0 \,;\, \pi]$ .
b) Déduis-en les variations de $f$ sur cet intervalle.
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9
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin(x) + \cos(x)$ .
a) Calcule $f'(x)$ et résous $f'(x) = 0$ sur $[0 \,;\, 2\pi]$ .
b) Déduis-en les variations de $f$ sur cet intervalle.
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10
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{2 + \cos(x)}$ .
a) Justifie que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.
b) Calcule $f'(x)$ et montre que son signe est celui de $2\cos(x) + 1$ .
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