Fonctions trigonométriques

🟠 Difficile

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1
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin(x) + \cos(x)$ .
a) Calcule $f'(x)$ et résous $f'(x) = 0$ sur $[0 \,;\, 2\pi]$ .
b) Déduis-en les variations de $f$ sur cet intervalle.
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a) $f'(x) = \cos(x) - \sin(x)$ .
$f'(x) = 0$ équivaut à $\cos(x) = \sin(x)$ , c'est-à-dire $\tan(x) = 1$ (là où $\cos(x) \neq 0$ ).
Sur $[0 \,;\, 2\pi]$ : $x = \frac{\pi}{4}$ et $x = \frac{5\pi}{4}$ .

b) Entre 0 et $\frac{\pi}{4}$ , $\cos$ dépasse $\sin$ : $f' > 0$ , $f$ croît.
Entre $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{5\pi}{4}$ : $f' < 0$ , $f$ décroît.
Entre $\frac{5\pi}{4}$ et $2\pi$ : $f' > 0$ , $f$ croît.
Maximum en $\frac{\pi}{4}$ : $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ .
2
a) Résous l'équation $\cos(x) = -\frac{1}{2}$ sur $[-\pi \,;\, \pi]$ .
b) Résous la même équation sur $[0 \,;\, 2\pi]$ .
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a) On sait que $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ .
Le cosinus est pair : $\cos(-x) = \cos(x)$ , donc $-\frac{2\pi}{3}$ convient aussi.
Sur $[-\pi \,;\, \pi]$ : $x = \frac{2\pi}{3}$ ou $x = -\frac{2\pi}{3}$ .

b) Sur $[0 \,;\, 2\pi]$ , la solution $-\frac{2\pi}{3}$ n'appartient plus à l'intervalle : on lui ajoute $2\pi$ .
$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$ .
Les solutions sont $\frac{2\pi}{3}$ et $\frac{4\pi}{3}$ .
3
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(2x)$ .
a) Calcule $f'(x)$ .
b) Détermine une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $\frac{\pi}{4}$ .
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4
On pose $f(x) = \sin^{2}(x)$ .
a) Montre que $f'(x) = \sin(2x)$ .
b) Déduis-en une primitive de $\sin(2x)$ sur $\mathbb{R}$ .
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5
a) Résous l'inéquation $\sin(x) \geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$ sur $[0 \,;\, 2\pi]$ .
b) Combien de solutions cette inéquation a-t-elle sur $[0 \,;\, 4\pi]$ ? Justifie sans nouveau calcul.
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6
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x + \sin(x)$ .
a) Calcule $f'(x)$ et donne son signe.
b) Que peut-on en conclure sur les variations de $f$ ?
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7
On considère $\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)$ et $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)$ .
a) Place $\frac{7\pi}{6}$ sur le cercle trigonométrique et donne ces deux valeurs exactes.
b) Déduis-en $\cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right)$ et $\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)$ .
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8
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{2 + \cos(x)}$ .
a) Justifie que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.
b) Calcule $f'(x)$ et montre que son signe est celui de $2\cos(x) + 1$ .
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9
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(2x)$ .
a) Calcule $f'(x)$ et résous $f'(x) = 0$ sur $[0 \,;\, \pi]$ .
b) Déduis-en les variations de $f$ sur cet intervalle.
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10
Résous l'équation $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
a) Sur l'intervalle $[0 \,;\, 2\pi]$ .
b) Sur l'intervalle $[-\pi \,;\, \pi]$ .
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