Fonctions trigonométriques

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1
Dérive la fonction f définie sur ℝ par f(x) = sin(x)·cos(x) et montre que f'(x) = cos²(x) − sin²(x).
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C'est un produit u·v avec u(x) = sin(x) et v(x) = cos(x).
On utilise (u·v)' = u'v + uv', avec u'(x) = cos(x) et v'(x) = −sin(x).
f'(x) = cos(x)·cos(x) + sin(x)·(−sin(x)).
f'(x) = cos²(x) − sin²(x).
On a bien le résultat demandé.
2
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = cos(x). Détermine une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse $\frac{\pi }{3}$ .
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L'équation de la tangente au point d'abscisse a est : y = f'(a)(x − a) + f(a).
Ici a = $\frac{\pi }{3}$ .
On a f'(x) = −sin(x), donc f'( $\frac{\pi }{3}$ ) = −sin( $\frac{\pi }{3}$ ) = − $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Et f( $\frac{\pi }{3}$ ) = cos( $\frac{\pi }{3}$ ) = $\frac{1}{2}$ .
Donc la tangente a pour équation : y = − $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (x − $\frac{\pi }{3}$ ) + $\frac{1}{2}$ .
3
Résous l'équation cos(x) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ sur l'intervalle [−π ; π].
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4
Résous l'équation sin(x) = $\frac{1}{2}$ sur l'intervalle [−π ; π].
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5
Résous l'inéquation cos(x) ≤ $\frac{1}{2}$ sur l'intervalle [−π ; π].
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6
Soit f définie sur ℝ par f(x) = cos(3x + $\frac{\pi }{4}$ ). Calcule f'(x) puis f'(0).
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7
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 2x − sin(x). Démontre que f est croissante sur ℝ.
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8
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x·sin(x). Étudie la parité de f.
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9
Résous l'équation 2cos(x) + √3 = 0 sur l'intervalle [−π ; π].
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10
Dérive la fonction f définie sur ℝ par f(x) = sin²(x).
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