Fonctions trigonométriques

🟡 Moyen

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1
Résous l'inéquation cos(x) ≤ $\frac{1}{2}$ sur l'intervalle [−π ; π].
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On repère d'abord les angles où $\cos (x) = \frac{1}{2}$ : ce sont $x = -\frac{\pi }{3}$ et $x = \frac{\pi }{3}$ .
Sur le cercle, le cosinus (abscisse) est petit quand le point est loin de l'axe horizontal côté droit, c'est-à-dire pour les angles éloignés de 0.
$\cos (x) \le \frac{1}{2}$ est donc vérifié pour les x tels que $\frac{\pi }{3} \le |x| \le \pi$ .
Solutions : $x \in [-\pi \,;\, -\frac{\pi }{3}] \cup [\frac{\pi }{3} \,;\, \pi ]$ .
2
Dérive la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = \sin ^{2}(x)$ .
Voir le corrigéoffert
On reconnaît une composée de la forme $u^{2}$ , avec $u(x) = \sin (x)$ .
La dérivée de $u^{2}$ est $2\cdot u\cdot u'$ , donc $(\sin ^{2}(x))$ ' $= 2\cdot \sin (x)\cdot (\sin (x))$ '.
Comme (sin(x))' $= \cos (x)$ :
$f'(x) = 2\sin (x)\cos (x)$ .
On multiplie bien par la dérivée de l'intérieur, ici cos(x).
3
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = \cos (3x + \frac{\pi }{4})$ . Calcule f'(x) puis f'(0).
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4
Résous l'équation $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ sur l'intervalle $[-\pi \,;\, \pi ]$ .
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5
Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x) = 2x - \sin (x)$ . Démontre que f est croissante sur ℝ.
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6
Dérive la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = \sin (x)\cdot \cos (x)$ et montre que $f'(x) = \cos ^{2}(x) - \sin ^{2}(x)$ .
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7
Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x) = x\cdot \sin (x)$ . Étudie la parité de f.
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8
Résous l'équation $\sin (x) = \frac{1}{2}$ sur l'intervalle $[-\pi \,;\, \pi ]$ .
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9
Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x) = \cos (x)$ . Détermine une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse $\frac{\pi }{3}$ .
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10
Résous l'équation $2\cos (x) + \sqrt{3} = 0$ sur l'intervalle $[-\pi \,;\, \pi ]$ .
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