Fonctions trigonométriques

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1
La fonction cosinus est-elle paire ou impaire ? En déduire la valeur exacte de $\cos (-\frac{\pi }{4})$ .
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La fonction cosinus est paire : pour tout réel x, $\cos (-x) = \cos (x)$ .
On en déduit $\cos (-\frac{\pi }{4}) = \cos (\frac{\pi }{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Interprétation géométrique : sur le cercle trigonométrique, les points repérés par x et par $-x$ ont la même abscisse. Or l'abscisse, c'est le cosinus : ils ont donc le même cosinus.
2
Résous l'équation $\cos (x) = 0$ sur l'intervalle $[-\pi \,;\, \pi ]$ .
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Le cosinus est l'abscisse du point M sur le cercle trigonométrique.
L'abscisse est nulle lorsque M est tout en haut ou tout en bas du cercle, c'est-à-dire pour les angles $\frac{\pi }{2}$ et $-\frac{\pi }{2}$ .
Dans $[-\pi \,;\, \pi ]$ , les solutions sont donc $x = -\frac{\pi }{2}$ et $x = \frac{\pi }{2}$ .
Vérification : $\cos (\frac{\pi }{2}) = 0$ et $\cos (-\frac{\pi }{2}) = 0$ .
3
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = \sin (x) - \cos (x)$ . Calcule f'(x) puis la valeur de f'(0).
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4
Dérive la fonction h définie sur ℝ par $h(x) = \cos (2x - \pi )$ .
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5
Dérive la fonction g définie sur ℝ par $g(x) = \sin (5x)$ .
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6
Rappelle la période des fonctions cos et sin, puis calcule la valeur exacte de $\cos (\frac{7\pi }{3})$ .
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7
Donne les valeurs exactes de $\cos (\frac{\pi }{3})$ et de $\sin (\frac{\pi }{3})$ .
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8
Dérive la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = -3\cos (x) + 2$ .
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9
Dérive la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = 4\sin (x) + 7\cos (x)$ .
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10
On sait que $\sin (x) = \frac{4}{5}$ et que x appartient à l'intervalle $[0 \,;\, \frac{\pi }{2}]$ . Calcule la valeur exacte de cos(x).
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