Fonctions trigonométriques

On considère la fonction f définie sur [−π ; π] par f(x) = 2sin(x) − x.
a) Calcule f'(x).
b) Résous f'(x) = 0 sur [−π ; π] et étudie le signe de f'(x).
c) Dresse le tableau de variations de f et donne les valeurs exactes des extremums locaux.

On considère la fonction f définie sur [0 ; 2π] par f(x) = x + 2cos(x).
a) Calcule f'(x).
b) Résous f'(x) = 0 sur [0 ; 2π].
c) Dresse le tableau de variations et donne les valeurs exactes des extremums locaux.

Dans un repère orthonormé, on place un point M(cos θ ; sin θ) sur le cercle trigonométrique, avec θ ∈ [0 ; $\frac{\pi }{2}$]. On note P(cos θ ; 0) et Q(0 ; sin θ). On s'intéresse à l'aire A(θ) du rectangle de sommets O, P, M, Q.
a) Exprime A(θ) en fonction de θ.
b) Montre que A'(θ) = cos²(θ) − sin²(θ).
c) Détermine la valeur de θ qui rend l'aire maximale, et donne l'aire maximale exacte.

On travaille sur l'intervalle [−π ; π].
a) Résous l'inéquation 2cos(x) − √3 ≥ 0.
b) Résous l'inéquation 2sin(x) + 1 > 0.
c) Déduis-en l'ensemble des réels x de [−π ; π] vérifiant simultanément les deux inéquations.

On considère la fonction f définie sur [−π ; π] par f(x) = $\frac{sin(x)}{(2 + cos(x))}$.
a) Justifie que f est bien définie sur [−π ; π].
b) Montre que f'(x) = $\frac{(2cos(x) + 1)}{(2 + cos(x))^{2}}$.
c) Étudie les variations de f et donne les valeurs exactes des extremums.

On veut comparer sin(x) et x sur [0 ; $\frac{\pi }{2}$]. Pour cela on pose g(x) = x − sin(x).
a) Calcule g'(x) et détermine son signe sur [0 ; $\frac{\pi }{2}$].
b) Déduis-en le sens de variation de g, puis le signe de g(x) sur [0 ; $\frac{\pi }{2}$].
c) Conclus : pour tout x de [0 ; $\frac{\pi }{2}$], compare sin(x) et x.

Résous sur [−π ; π] l'équation 2cos²(x) − cos(x) − 1 = 0.
a) Pose X = cos(x) et résous l'équation du second degré obtenue.
b) Reviens à l'inconnue x pour chaque valeur de X.
c) Donne l'ensemble des solutions.

Résous sur [−π ; π] l'équation 2sin²(x) − 3sin(x) + 1 = 0.
a) Pose X = sin(x) et résous l'équation du second degré obtenue.
b) Reviens à l'inconnue x pour chaque valeur de X.
c) Donne l'ensemble des solutions.

Résous sur [−π ; π] l'équation 2cos²(x) + sin(x) − 1 = 0.
a) Utilise l'identité cos²(x) + sin²(x) = 1 pour tout exprimer en fonction de sin(x).
b) Pose X = sin(x) et résous l'équation du second degré obtenue.
c) Donne l'ensemble des solutions.

La hauteur d'eau (en mètres) dans un port au cours d'une journée est modélisée, pour t ∈ [0 ; 24] (t en heures), par h(t) = 4 + 3cos($\frac{\pi }{6}$t).
a) Calcule h(0).
b) Calcule h'(t) et étudie son signe sur [0 ; 12].
c) À quels instants de [0 ; 12] la hauteur est-elle minimale puis maximale ? Donne ces hauteurs.