Fonctions trigonométriques

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1
On considère la fonction f définie sur $[0 \,;\, 2\pi ]$ par $f(x) = x + 2\cos (x)$ .
Dresse le tableau de variations et donne les valeurs exactes des extremums locaux.
Voir le corrigéoffert
a) $f'(x) = 1 - 2\sin (x)$ .

b) $f'(x) = 0$ ⟺ $\sin (x) = \frac{1}{2}$ ⟺ $x = \frac{\pi }{6}$ ou $x = \frac{5\pi }{6}$ (sur $[0 \,;\, 2\pi ]$ ).

c) Signe : $f'(x) > 0$ ⟺ $\sin (x) < \frac{1}{2}$ .
Donc f croissante sur $[0 \,;\, \frac{\pi }{6}]$ , décroissante sur $[\frac{\pi }{6} \,;\, \frac{5\pi }{6}]$ , croissante sur $[\frac{5\pi }{6} \,;\, 2\pi ]$ .
Maximum local en $x = \frac{\pi }{6}$ : $f(\frac{\pi }{6}) = \frac{\pi }{6} + 2\cos (\frac{\pi }{6}) = \frac{\pi }{6} + 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi }{6} + \sqrt{3}$ .
Minimum local en $x = \frac{5\pi }{6}$ : $f(\frac{5\pi }{6}) = \frac{5\pi }{6} + 2\cos (\frac{5\pi }{6}) = \frac{5\pi }{6} - \sqrt{3}$ .
Vérification aux bornes : $f(0) = 0 + 2 = 2$ et $f(2\pi ) = 2\pi + 2$ .
2
Résous sur $[-\pi \,;\, \pi ]$ l'équation $2\cos ^{2}(x) - \cos (x) - 1 = 0$ .
Donne l'ensemble des solutions.
Voir le corrigéoffert
a) Avec $X = \cos (x)$ , l'équation devient $2X^{2} - X - 1 = 0$ .
Discriminant : $\Delta = (-1)^{2} - 4 \times 2 \times (-1) = 1 + 8 = 9$ , donc $\sqrt{\Delta} = 3$ .
$X_{1} = \frac{(1 + 3)}{4} = 1$ et $X_{2} = \frac{(1 - 3)}{4} = -\frac{1}{2}$ .

b) Cas $X = 1$ : $\cos (x) = 1$ ⟺ $x = 0$ (sur $[-\pi \,;\, \pi ]$ ).
Cas $X = -\frac{1}{2}$ : $\cos (x) = -\frac{1}{2}$ ⟺ $x = \frac{2\pi }{3}$ ou $x = -\frac{2\pi }{3}$ .

c) L'ensemble des solutions est $\{-\frac{2\pi }{3} \,;\, 0 \,;\, \frac{2\pi }{3}\}$ .
Vérification pour $x = \frac{2\pi }{3}$ : $2 \times \frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}) - 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 0$ .
3
Résous sur $[-\pi \,;\, \pi ]$ l'équation $2\sin ^{2}(x) - 3\sin (x) + 1 = 0$ .
Donne l'ensemble des solutions.
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4
On considère la fonction f définie sur $[-\pi \,;\, \pi ]$ par $f(x) = 2\sin (x) - x$ .
Dresse le tableau de variations de f et donne les valeurs exactes des extremums locaux.
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5
On veut comparer sin(x) et x sur $[0 \,;\, \frac{\pi }{2}]$ . Pour cela on pose $g(x) = x - \sin (x)$ .
Montre que, pour tout x de $[0 \,;\, \frac{\pi }{2}]$ , $\sin (x) \le x$ .
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6
Dans un repère orthonormé, on place un point M(cos θ ; sin θ) sur le cercle trigonométrique, avec $\theta \in [0 \,;\, \frac{\pi }{2}]$ . On note P(cos θ ; 0) et Q(0 ; sin θ). On s'intéresse à l'aire A(θ) du rectangle de sommets O, P, M, Q.
Détermine la valeur de θ qui rend l'aire maximale, et donne l'aire maximale exacte.
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7
Résous sur $[-\pi \,;\, \pi ]$ l'équation $2\cos ^{2}(x) + \sin (x) - 1 = 0$ .
Donne l'ensemble des solutions.
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8
La hauteur d'eau (en mètres) dans un port au cours d'une journée est modélisée, pour $t \in [0 \,;\, 24]$ (t en heures), par $h(t) = 4 + 3\cos (\frac{\pi }{6}t)$ .
À quels instants de $[0 \,;\, 12]$ la hauteur est-elle minimale puis maximale ? Donne ces hauteurs.
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9
On travaille sur l'intervalle [−π ; π].
Détermine l'ensemble des réels x de [−π ; π] vérifiant simultanément $2\cos (x) - \sqrt{3} \ge 0$ et $2\sin (x) + 1 > 0$ .
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10
On considère la fonction f définie sur $[-\pi \,;\, \pi ]$ par $f(x) = \frac{\sin (x)}{(2 + \cos (x))}$ .
Étudie les variations de f et donne les valeurs exactes des extremums.
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