Additionner et soustraire des fractions

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1
Calcule $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4}$ .
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Chaque terme s'écrit comme une différence : $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ .
La somme devient $\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right)$ .
Tout se simplifie de proche en proche : il reste $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .
Ce procédé s'appelle un télescopage, et il évite tout dénominateur commun.
2
Montre que $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$ .
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On met au même dénominateur $n(n+1)$ .
$\frac{1}{n} = \frac{n+1}{n(n+1)}$ et $\frac{1}{n+1} = \frac{n}{n(n+1)}$ .
La différence vaut $\frac{(n+1) - n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$ .
C'est l'identité qui rend possible le télescopage de l'exercice précédent.
3
Un héritage est partagé : l'aîné reçoit $\frac{1}{2}$ , le cadet $\frac{1}{3}$ , le benjamin $\frac{1}{9}$ . Le reste va à une association. Quelle fraction reçoit-elle ?
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4
Résous : $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = \frac{7}{6}$ .
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5
La somme $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$ atteindra-t-elle 1 si l'on continue indéfiniment ?
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6
Calcule $\frac{2}{3} - \frac{3}{4} + \frac{5}{6} - \frac{1}{2}$ .
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7
Peut-on écrire $\frac{2}{5}$ comme somme de deux fractions de numérateur 1 et de dénominateurs différents ?
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8
Un élève écrit $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$ . Où est l'erreur, et pourquoi le résultat est-il forcément faux ?
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9
Trouve deux fractions de dénominateurs 4 et 6 dont la somme vaut $\frac{11}{12}$ .
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10
Pourquoi le plus petit multiple commun est-il préférable au produit des dénominateurs ?
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