Comparer des fractions

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1
Démontre que si $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ avec $b$ et $d$ strictement positifs, alors $a \times d < b \times c$ .
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On multiplie les deux membres de l'inégalité par $b \times d$ , qui est strictement positif : le sens de l'inégalité est conservé.
$\frac{a}{b} \times b \times d < \frac{c}{d} \times b \times d$ .
À gauche $b$ se simplifie, à droite $d$ se simplifie.
Il reste $a \times d < b \times c$ .
C'est le produit en croix pour les inégalités, et il exige que les dénominateurs soient positifs : avec $b$ négatif, l'inégalité changerait de sens.
2
Montre que $\frac{n}{n+1} < \frac{n+1}{n+2}$ pour tout entier $n$ positif.
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Produit en croix : on compare $n \times (n+2)$ et $(n+1) \times (n+1)$ .
$n(n+2) = n^2 + 2n$ et $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$ .
Le second dépasse le premier de 1.
Donc $\frac{n}{n+1} < \frac{n+1}{n+2}$ : la suite de ces fractions croît, en se rapprochant de 1 sans jamais l'atteindre.
3
Compare $\frac{1\,000\,001}{1\,000\,002}$ et $\frac{1\,000\,002}{1\,000\,003}$ .
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4
La moyenne $\frac{a+c}{b+d}$ de deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ est-elle comprise entre elles ?
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5
Trouve la fraction de plus petit dénominateur strictement comprise entre $\frac{3}{7}$ et $\frac{4}{9}$ .
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6
Range sans calculatrice : $\frac{7}{8}$ ; $\frac{8}{9}$ ; $\frac{9}{10}$ .
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7
Deux classes passent le même test. Dans la première, 18 élèves sur 24 réussissent ; dans la seconde, 21 sur 30. Un élève affirme que la seconde est meilleure car 21 est plus grand que 18. Que répondre ?
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8
Combien de fractions irréductibles de dénominateur 10 sont comprises strictement entre 0 et 1 ?
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9
Encadre $\frac{22}{7}$ par deux entiers consécutifs, puis par deux décimaux au dixième.
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10
Pourquoi peut-on toujours trouver une fraction entre deux fractions distinctes ?
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