Divisibilité et nombres premiers

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1
Calcule PGCD(504 ; 396) par la décomposition en facteurs premiers.
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$504 = 2^3 \times 3^2 \times 7$ .
$396 = 2^2 \times 3^2 \times 11$ .
Je garde les facteurs COMMUNS, chacun affecté de la PLUS PETITE puissance :
— le 2 : présent en $2^3$ et $2^2$ , je garde $2^2$ ;
— le 3 : présent en $3^2$ des deux côtés, je garde $3^2$ ;
— 7 et 11 ne sont pas communs, je les écarte.
PGCD $= 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$ .
2
Calcule PGCD(1 071 ; 462) par l'algorithme d'Euclide.
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Je divise, puis je remplace le couple par (diviseur ; reste), jusqu'à obtenir un reste nul.
$1\,071 = 462 \times 2 + 147$ .
$462 = 147 \times 3 + 21$ .
$147 = 21 \times 7 + 0$ .
Le dernier reste non nul est 21.
Donc PGCD(1 071 ; 462) = 21.
Avantage de cette méthode : elle ne demande aucune décomposition, et marche même sur de très grands nombres.
3
Combien de diviseurs possède 360 ? (Utilise sa décomposition en facteurs premiers.)
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4
Deux phares s'allument, l'un toutes les 12 secondes, l'autre toutes les 18 secondes. Ils viennent de s'allumer ensemble. Dans combien de temps s'allumeront-ils de nouveau en même temps ?
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5
Montre que $\frac{231}{273}$ n'est pas irréductible, puis rends-la irréductible.
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6
Quel est le plus petit entier qui a exactement 6 diviseurs ?
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7
Un nombre de trois chiffres s'écrit $\overline{4a2}$ . Pour quelles valeurs de $a$ ce nombre est-il divisible par 3 ?
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8
On dispose de 150 stylos et 90 cahiers. On prépare des lots identiques, sans reste. Quel est le plus grand nombre de lots possible, et que contient chaque lot ?
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9
Vérifie que $PGCD(a\,;\,b) \times PPCM(a\,;\,b) = a \times b$ avec $a = 12$ et $b = 30$ .
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10
Parmi 91, 97, 111 et 119, lequel est premier ?
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