Divisibilité et nombres premiers

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1
Montre qu'il existe une infinité de nombres premiers.
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Je raisonne par l'absurde, comme Euclide il y a plus de 2 000 ans.
Supposons qu'il n'y en ait qu'un nombre fini : $p_1, p_2, \ldots, p_n$ .
Je construis $N = p_1 \times p_2 \times \ldots \times p_n + 1$ .
Aucun des $p_i$ ne divise $N$ : la division de $N$ par $p_i$ laisse toujours le reste 1.
Or tout entier supérieur à 1 possède au moins un diviseur premier.
Ce diviseur premier de $N$ n'est donc aucun des $p_i$ : la liste n'était pas complète.
C'est une contradiction, donc il existe une infinité de nombres premiers.
2
Un nombre a exactement 3 diviseurs. Que peut-on dire de ce nombre ?
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Si $n = p^a \times q^b \times \ldots$ , son nombre de diviseurs vaut $(a+1)(b+1)\ldots$
Pour obtenir 3, qui est premier, le produit ne peut avoir qu'un seul facteur : $a + 1 = 3$ , donc $a = 2$ , et aucun autre facteur premier.
Donc $n = p^2$ avec $p$ premier : c'est le CARRÉ d'un nombre premier.
Exemples : $4 = 2^2$ (diviseurs 1, 2, 4), $9 = 3^2$ (1, 3, 9), $49 = 7^2$ (1, 7, 49).
Réciproquement, tout carré de premier a bien 3 diviseurs : 1, $p$ et $p^2$ .
3
Trois cloches sonnent respectivement toutes les 15, 20 et 24 minutes. Elles viennent de sonner ensemble à 8 h. À quelle heure sonneront-elles ensemble pour la deuxième fois ?
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4
Démontre que le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.
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5
Un nombre $N$ laisse un reste de 3 dans la division par 5 et un reste de 3 dans la division par 7. Quel est le plus petit entier positif possible pour $N$ , autre que 3 ?
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6
La fraction $\dfrac{n+1}{n}$ est-elle irréductible pour tout entier $n \geq 1$ ? Justifie.
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7
Trouve tous les nombres premiers $p$ tels que $p$ , $p + 2$ et $p + 4$ soient tous les trois premiers.
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8
Calcule le PGCD de 2 024 et 2 025, puis celui de 2 024 et 2 026.
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9
On veut carreler entièrement un sol rectangulaire de 234 cm sur 156 cm avec des carreaux carrés identiques, sans en couper aucun. Quelle est la plus grande taille de carreau possible, et combien en faut-il ?
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10
Le nombre $2^{10} - 1$ est-il premier ? Justifie sans calculatrice.
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