Périmètres, aires et volumes

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1
Une maquette est à l'échelle 1/50. Le bâtiment réel a un volume de 4 000 m³. Quel est le volume de la maquette, en litres ?
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L'échelle porte sur les LONGUEURS : $k = \frac{1}{50}$ .
Les volumes sont multipliés par $k^3 = \frac{1}{125\,000}$ .
Volume de la maquette : $\frac{4\,000}{125\,000} = 0{,}032$ m³.
Je convertis : 1 m³ vaut 1 000 L, donc $0{,}032 \times 1\,000 = 32$ L.
La maquette a un volume de 32 litres.
Piège : diviser par 50 donnerait 80 m³, soit 2 500 fois trop.
2
Un cône de 12 cm de hauteur est coupé à mi-hauteur par un plan parallèle à sa base. Quelle fraction du volume total représente le petit cône obtenu ?
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Le petit cône est une RÉDUCTION du grand, de rapport $k = \frac{1}{2}$ (les hauteurs sont dans ce rapport).
Les volumes suivent $k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ .
Le petit cône représente donc $\frac{1}{8}$ du volume total.
Conséquence : le tronc de cône restant en occupe $\frac{7}{8}$ — bien plus que la moitié, alors que la coupe est à mi-hauteur.
C'est parce que la partie basse est aussi la plus large.
3
Un cube et une boule ont le même volume : 1 000 cm³. Lequel a la plus petite aire de surface ?
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4
Une citerne cylindrique couchée de 2 m de diamètre et 5 m de long est remplie à moitié. Quel volume d'eau contient-elle, en litres ?
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5
Un rectangle de périmètre 20 cm a son aire exprimée en fonction de sa largeur $x$ . Détermine cette expression, puis les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire vaut 21 cm².
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6
Un cube de 6 cm d'arête est creusé d'un trou cylindrique traversant de 2 cm de rayon, perpendiculaire à deux faces opposées. Quel volume de matière reste-t-il ?
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7
L'aire d'un disque augmente de 44 %. De quel pourcentage son rayon a-t-il augmenté ?
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8
Une boîte cubique sans couvercle est fabriquée à partir d'un carré de carton de 20 cm de côté, en découpant un carré de 4 cm à chaque coin et en relevant les bords. Quel est le volume de la boîte ?
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9
Un second cylindre a un rayon deux fois plus petit que le premier, mais une hauteur deux fois plus grande. Compare les volumes des deux cylindres.
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10
Un bassin a la forme d'un pavé droit de 6 m sur 4 m, profond de 2 m. Un robinet débite 300 L par minute. En combien de temps le bassin est-il rempli ?
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