Repérage et géométrie dans l'espace

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1
Dans un repère, $A(-2\ ;\ 3)$ , $B(4\ ;\ 1)$ et $C(2\ ;\ 7)$ . Détermine la nature exacte du triangle $ABC$ .
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Je calcule les CARRÉS des trois longueurs, pour éviter de manipuler des racines.
$AB^2 = (4+2)^2 + (1-3)^2 = 36 + 4 = 40$ .
$AC^2 = (2+2)^2 + (7-3)^2 = 16 + 16 = 32$ .
$BC^2 = (2-4)^2 + (7-1)^2 = 4 + 36 = 40$ .
Deux carrés sont égaux : $AB^2 = BC^2 = 40$ , donc $AB = BC$ . Le triangle est ISOCÈLE en $B$ .
Est-il aussi rectangle ? Le plus grand côté est $AB$ (ou $BC$ ), de carré 40.
$AC^2 + BC^2 = 32 + 40 = 72 \neq 40$ : l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée.
Le triangle est donc isocèle en $B$ , mais PAS rectangle.
Leçon : il faut tester avant de conclure — deux longueurs égales ne suffisent jamais à annoncer un angle droit.
2
Un cube d'arête 10 cm est coupé par un plan passant par trois sommets adjacents à un même sommet. Quelle est la nature de la section obtenue ?
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Les trois sommets voisins d'un même sommet sont à distance 10 cm de lui, le long des trois arêtes.
Chaque côté de la section relie deux de ces points : c'est la diagonale d'une face, soit $10\sqrt{2}$ cm.
Les trois côtés de la section ont donc la MÊME longueur.
La section est un triangle ÉQUILATÉRAL de côté $10\sqrt{2} \approx 14{,}1$ cm.
Résultat surprenant : couper un cube, figure toute en angles droits, peut produire un triangle équilatéral.
3
Calcule le périmètre du triangle $ABC$ avec $A(0\ ;\ 0)$ , $B(8\ ;\ 0)$ et $C(4\ ;\ 3)$ .
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4
Un solide possède 8 faces, 12 sommets et 18 arêtes. Vérifie s'il peut exister.
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5
Une sphère de rayon 13 cm est coupée par un plan situé à 5 cm de son centre. Quel est le rayon du disque obtenu ?
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6
Dans un repère, détermine les coordonnées du point de l'axe des abscisses équidistant de $A(1\ ;\ 4)$ et $B(5\ ;\ 2)$ .
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7
Un pavé droit a un volume de 480 cm³ et une base carrée de 8 cm de côté. Calcule sa grande diagonale.
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8
Pourquoi tous les méridiens ont-ils la même longueur, alors que les parallèles n'ont pas tous la même ?
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9
Dans un cube $ABCDEFGH$ d'arête 4 cm, $I$ est le milieu de l'arête $[EF]$ . Calcule la distance $AI$ , sachant que $[AE]$ est une arête verticale.
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10
Une maquette de la Terre a un diamètre de 30 cm. Sachant que le rayon réel de la Terre vaut environ 6 400 km, à quelle échelle est-elle ? À quelle épaisseur correspondrait l'atmosphère, épaisse d'environ 100 km ?
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