Calcul intégral et valeur moyenne
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Le chapitre en bref
Ce que tu vas savoir faire
- Connaître la fonction et sa dérivée, en distinguant paramètre, variable et variable muette.
- Calculer une intégrale avec une primitive : .
- Calculer une aire sous une courbe, en tenant compte du signe de la fonction.
- Calculer une aire entre deux courbes.
- Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle et l'interpréter.
- Calculer une énergie et une puissance moyenne en physique.
Le plan du chapitre
- 1La fonction « aire »
- 2Calculer une intégrale avec une primitive
- 3Calculer des aires
- 4Valeur moyenne d'une fonction
- 5Énergie et puissance moyenne
À retenir
- est la primitive de f qui s'annule en a : .
- a : paramètre ; x : variable ; t : variable muette.
- , pour toute primitive F de f.
- Aire sous la courbe : découper selon le signe de f et additionner les aires.
- Aire entre deux courbes, si : .
- Valeur moyenne : , hauteur du rectangle de même aire.
Les questions éclair
Quelle est la dérivée de x ↦ ∫ de a à x de f(t)dt ?
f(x).
Comment calcule-t-on ∫ de a à b de f(x)dx avec une primitive F ?
F(b) − F(a).
Quelle est la formule de la valeur moyenne de f sur [a ; b] ?
μ = (1/(b − a)) × ∫ de a à b de f(x)dx.
Comment calcule-t-on l'aire entre deux courbes si f ⩾ g ?
∫ de a à b de (f(x) − g(x))dx.
Qu'est-ce que la puissance active ?
La valeur moyenne de la puissance instantanée sur une période.
Le sais-tu ?
Le théorème fondamental de l'analyse est souvent attribué à Newton et Leibniz, mais un de ses premiers énoncés géométriques est dû à Isaac Barrow, le professeur de Newton à Cambridge, dans des leçons publiées en 1670. Barrow ne sut pas voir la portée de son résultat. Newton, lui, comprit qu'il permettait de calculer toutes les aires à partir des dérivées, et Leibniz inventa les notations ∫ et dx qui le rendent presque évident. Quand Barrow démissionna de sa chaire en 1669, ce fut, raconte-t-on, pour la céder à son brillant élève.