Composition de fonctions

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Le chapitre en bref

Ce que tu vas savoir faire

Connaître la définition de la composée $v \circ u$ et identifier une composée dans une expression.
Connaître et utiliser la formule $(v \circ u)' = u' \times (v' \circ u)$ .
Dériver $u^{n}$ (n entier relatif), $\cos u$ , $\sin u$ , $e^{u}$ et $\ln u$ .
Démontrer la dérivée d'un quotient et celle de ln.
Calculer des primitives de $f(ax + b)$ , $u'u^{n}$ , $\frac{u'}{u}$ , $u'e^{u}$ , $u'\cos u$ et $u'\sin u$ .
Utiliser ces primitives pour calculer des intégrales.

Le plan du chapitre

1La composée de deux fonctions
2Dérivée d'une composée
3Les dérivées usuelles
4Primitives de u′ f(u)
5Applications

À retenir

$(v \circ u)(x) = v(u(x))$  : u d'abord, v ensuite ; en général $v \circ u \neq u \circ v$ .
$(v \circ u)' = u' \times (v' \circ u)$  : les taux de variation se multiplient.
$(u^{n})' = nu'u^{n-1}$  ; $(\cos u)' = -u'\sin u$  ; $(\sin u)' = u'\cos u$ .
$(e^{u})' = u'e^{u}$  ; $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ ( $u > 0$ ).
Primitive de $u'(f \circ u)$  : $F \circ u$  ; de $f(ax + b)$  : $\frac{1}{a}F(ax + b)$ .
Primitives : $u'u^{n} \to \frac{u^{n+1}}{n + 1}$ ( $n \neq -1$ ) ; $\frac{u'}{u} \to \ln u$  ; $u'e^{u} \to e^{u}$  ; $u'\cos u \to \sin u$  ; $u'\sin u \to -\cos u$ .

Les questions éclair

Quelle est la dérivée de v(u(x)) ?

u′(x) × v′(u(x)).

Quelle est la dérivée de $e^{u(x)}$  ?

$u'(x)\,e^{u(x)}$ .

Quelle est la dérivée de ln(u(x)) ?

u′(x) / u(x), pour u > 0.

Quelle est une primitive de u′/u (u > 0) ?

ln u.

Quelle est une primitive de u′uⁿ (n ≠ −1) ?

uⁿ⁺¹ / (n + 1).

Le sais-tu ?

La règle de dérivation d'une composée s'appelle en anglais chain rule, « règle de la chaîne ». Leibniz l'écrivait dès 1676 sous une forme presque magique : $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y} \times \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ , comme si l'on « simplifiait » par dy. Cette règle est aujourd'hui au cœur de l'intelligence artificielle : un réseau de neurones est une gigantesque composée de fonctions, et l'algorithme qui lui permet d'apprendre, la « rétropropagation du gradient », consiste à appliquer la règle de la chaîne des milliards de fois.

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