Équations différentielles

Q: Quelles sont les solutions de y′ = ay ?

Les fonctions $x \mapsto C\,e^{ax}$, C réel.

Q: Quelles sont les solutions de y′ = ay + b (a ≠ 0) ?

Les fonctions $x \mapsto C\,e^{ax} - \frac{b}{a}$.

Q: Quelle équation vérifie le nombre de noyaux radioactifs ?

dN/dt = −λN, donc $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$.

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Le chapitre en bref

Ce que tu vas savoir faire

Comprendre la notion d'équation différentielle et de solution, avec les notations $y'$ et $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ .
Vérifier qu'une fonction donnée est solution d'une équation différentielle.
Déterminer toutes les solutions de $y' = ay$ .
Déterminer toutes les solutions de $y' = ay + b$ .
Déterminer la solution qui vérifie une condition initiale.
Modéliser la décroissance radioactive et d'autres phénomènes ; approcher une solution par la méthode d'Euler.

Le plan du chapitre

1Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?
2L'équation y′ = ay
3L'équation y′ = ay + b
4Condition initiale
5Modèles physiques et méthode d'Euler

À retenir

Une équation différentielle a pour inconnue une fonction ; une solution vérifie l'égalité pour tout x de l'intervalle.
Pour vérifier une solution : dériver, remplacer, constater l'égalité pour tout x.
$y' = ay$  : solutions $Ce^{ax}$ , C réel. Somme et multiples de solutions sont solutions.
$y' = ay + b$ ( $a \neq 0$ ) : solutions $Ce^{ax} - \frac{b}{a}$  : solution constante + solutions de $y' = ay$ .
Une condition initiale $y(x_{0}) = y_{0}$ détermine une unique solution : on calcule C.
Radioactivité : $\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N \Rightarrow N = N_{0}e^{-\lambda t}$  ; circuit RC : $u = E + Ce^{-t/\tau}$ avec $\tau = RC$ .

Les questions éclair

Quelles sont les solutions de y′ = ay ?

Les fonctions $x \mapsto C\,e^{ax}$ , C réel.

Quelles sont les solutions de y′ = ay + b (a ≠ 0) ?

Les fonctions $x \mapsto C\,e^{ax} - \frac{b}{a}$ .

Comment trouve-t-on la solution constante de y′ = ay + b ?

On résout 0 = ak + b.

Combien de solutions vérifient une condition initiale ?

Une seule.

Quelle équation vérifie le nombre de noyaux radioactifs ?

dN/dt = −λN, donc $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ .

Le sais-tu ?

En 1846, l'astronome français Urbain Le Verrier remarqua qu'Uranus ne suivait pas exactement la trajectoire prévue par les équations différentielles de Newton. Plutôt que de douter des équations, il supposa l'existence d'une planète inconnue qui la perturbait, et calcula, à la main, pendant des mois, où elle devait se trouver. Il envoya ses résultats à l'observatoire de Berlin : le soir même où l'astronome Johann Galle reçut la lettre, il pointa son télescope à l'endroit indiqué et découvrit Neptune, à moins d'un degré de la position prédite. On dit que Le Verrier a découvert une planète « du bout de sa plume ».

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