Intégrale et aire sous la courbe
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Le chapitre en bref
Ce que tu vas savoir faire
- Définir l'intégrale d'une fonction positive comme une aire sous la courbe, et lire la notation .
- Calculer une intégrale à l'aide d'aires de rectangles, de trapèzes ou de triangles.
- Approcher une intégrale par la méthode des rectangles, et une aire par la méthode de Monte-Carlo.
- Interpréter l'intégrale d'une fonction négative ou de signe quelconque, et le cas .
- Utiliser la linéarité, la positivité, la croissance et la relation de Chasles.
- Calculer une énergie à partir d'une courbe de puissance.
Le plan du chapitre
- 1L'intégrale d'une fonction positive
- 2Approcher une intégrale
- 3Fonctions de signe quelconque
- 4Propriétés de l'intégrale
- 5Intégrale et grandeurs physiques
À retenir
- Pour f positive et : est l'aire sous la courbe, en unités d'aire.
- Fonction constante : aire d'un rectangle ; fonction affine positive : aire d'un trapèze.
- Rectangles : , de mieux en mieux quand diminue.
- Aire algébrique : au-dessus de l'axe, positive ; au-dessous, négative.
- et .
- Linéarité, Chasles (), positivité et croissance (bornes dans l'ordre).
Les questions éclair
Que représente ∫ f(x)dx de a à b pour f positive ?
L'aire, en unités d'aire, sous la courbe de f entre x = a et x = b.
Que vaut l'intégrale d'une fonction négative ?
L'opposé de l'aire comprise entre la courbe et l'axe.
Quelle est la relation de Chasles ?
∫ de a à c + ∫ de c à b = ∫ de a à b.
Comment obtient-on l'énergie à partir de la puissance ?
E = ∫ P(t) dt : l'aire sous la courbe de puissance.
Que vaut ∫ f de b à a en fonction de ∫ f de a à b ?
Son opposé.
Le sais-tu ?
Au IIIe siècle avant notre ère, Archimède calcula déjà l'aire sous un arc de parabole : il la remplit de triangles de plus en plus petits et montra que leur somme s'approche des 4/3 d'un certain triangle. C'était, deux mille ans avant l'invention du symbole ∫, l'idée même du calcul intégral : approcher une aire courbe par une infinité de petites figures droites. La méthode de Monte-Carlo, elle, est née en 1946 à Los Alamos : le mathématicien Stanislaw Ulam, cloué au lit, jouait aux cartes et se demanda s'il valait mieux calculer ses chances… ou faire un très grand nombre de parties et compter.