Kala te souhaite la bienvenueKalaMaths
S'abonner
4

Le logarithme népérien

GRATUIT

Fiche élève

Les énoncés du chapitre, à imprimer ou à travailler à l'écran. Sans compte !

Télécharger la ficheVoir en ligne

Pour aller plus loin

Réservé aux abonnés : la fiche interactive, le corrigé et la fiche prof.

Fiche interactive

Cours + 1 atelier manipulable + exos auto-corrigés.

🔒 Réservé aux abonnésEssayer un atelier gratuitementS'abonner pour débloquerou ce chapitre seul, 2,99 €, voir plus bas.

Corrigé

La correction détaillée, avec les rappels utiles.

🔒 Réservé aux abonnésS'abonner pour débloquer

Fiche prof

La version enseignant, pour préparer et animer.

🔒 Réservé aux abonnésS'abonner pour débloquer

Juste besoin de ce chapitre ? Débloquez-le pour 2,99 € : paiement unique, accès à vie (fiche interactive, corrigé, fiche prof et corrigés des exercices).

Avec un code de parrainage, c'est −20 % sur cette première commande.

Le chapitre en bref

Ce que tu vas savoir faire

  • Connaître la définition de ln⁡a\ln a pour a>0a > 0, et les égalités eln⁡a=ae^{\ln a} = a et ln⁡(ex)=x\ln(e^{x}) = x.
  • Utiliser les propriétés algébriques du logarithme pour transformer des expressions.
  • Faire le lien entre ln et le logarithme décimal log.
  • Résoudre des équations et inéquations du type eax=be^{ax} = b, eax>be^{ax} > b, ln⁡x=b\ln x = b, ln⁡x>b\ln x > b.
  • Connaître la dérivée, les variations, la courbe et les limites de ln en 0 et en +∞+\infty.
  • Étudier des fonctions faisant intervenir ln ; calculer une demi-vie, un pH, un niveau sonore.

Le plan du chapitre

  1. 1Définition du logarithme népérien
  2. 2Propriétés algébriques
  3. 3Équations et inéquations
  4. 4La fonction logarithme népérien
  5. 5Logarithmes en physique-chimie

À retenir

  • Pour a>0a > 0 : ex=a  ⟺  x=ln⁡ae^{x} = a \iff x = \ln a. eln⁡a=ae^{\ln a} = a, ln⁡(ex)=x\ln(e^{x}) = x, ln⁡1=0\ln 1 = 0, ln⁡e=1\ln e = 1.
  • ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b ; ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b ; ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^{n}) = n\ln a ; ln⁡a=12ln⁡a\ln\sqrt{a} = \frac{1}{2}\ln a.
  • log⁡x=ln⁡xln⁡10\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10} : mêmes propriétés, base 10 au lieu de e.
  • Pour b>0b > 0 : eX>b  ⟺  X>ln⁡be^{X} > b \iff X > \ln b ; pour x>0x > 0 : ln⁡x>b  ⟺  x>eb\ln x > b \iff x > e^{b}. Attention au domaine et aux divisions par un négatif.
  • (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \dfrac{1}{x} : ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[]0 \,;\, +\infty[.
  • lim⁡0+ln⁡x=−∞\lim\limits_{0^{+}} \ln x = -\infty (asymptote verticale) ; lim⁡+∞ln⁡x=+∞\lim\limits_{+\infty} \ln x = +\infty ; tangente en 1 : y=x−1y = x - 1.

Les questions éclair

Que signifie x = ln a ?

eˣ = a : ln a est l'exposant qu'il faut donner à e pour obtenir a (a > 0).

Que vaut ln(ab) ?

ln a + ln b.

Quelle est la dérivée de ln x ?

1/x.

Comment résoudre eax=be^{ax} = b avec b > 0 ?

ax = ln b, donc x = ln b / a.

Quelle est la demi-vie d'une loi N0 e−λtN_0\,e^{-\lambda t} ?

t½ = ln 2 / λ.

Le sais-tu ?

Avant les calculatrices, les ingénieurs utilisaient une règle à calcul : deux réglettes graduées selon une échelle logarithmique, qu'on faisait glisser l'une contre l'autre. Additionner deux longueurs revenait à additionner deux logarithmes… donc à multiplier deux nombres. Inventée vers 1620, quelques années après les tables de Napier, la règle à calcul a servi pendant trois siècles et demi : c'est avec elle que furent calculés les ponts, les avions et même une grande partie des missions Apollo, avant d'être balayée par les calculatrices électroniques dans les années 1970.

Et maintenant ?

Fiche interactiveL'atelier à faire en ligne

Ou au choix

S'entraînerExercices, du Facile à l'ExpertExamen du chapitreTeste-toi, noté /20Annales du BacSujets d'examen corrigésChapitre suivant : Équations différentiellesOn continue le programme