Dérivation : nombre dérivé et tangente

Soit f(x) = x² − 2x + 3.
a) En utilisant la définition, calcule f'(a).
b) Détermine les équations des tangentes T₀ (en a = 0) et T₂ (en a = 2).
c) Montre que T₀ et T₂ se coupent et donne les coordonnées de leur point d'intersection.

On considère la parabole d'équation f(x) = x².
a) Montre que la tangente au point d'abscisse a a pour équation y = 2ax − a².
b) Montre que cette tangente coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $\frac{a}{2}$ (pour a ≠ 0).
c) Détermine les valeurs de a pour lesquelles cette tangente passe par le point B(0 ; −4).

Soit f(x) = x³.
a) En utilisant l'identité (a+h)³ = a³ + 3a²h + 3ah² + h³, calcule f'(a) par la définition.
b) Détermine l'équation de la tangente au point d'abscisse a = 2.
c) À l'aide de l'approximation affine en a = 2, estime 2,02³, puis compare à la valeur exacte.

Le coût de production de q objets (en euros) est C(q) = q² + 10q + 50.
a) En utilisant la définition, calcule le « coût marginal » C'(q) (le nombre dérivé), qui approche le coût du (q+1)-ième objet.
b) Calcule C'(20).
c) Compare C'(20) au coût réel supplémentaire C(21) − C(20).

Soit f(x) = √x, définie pour x ≥ 0.
a) En multipliant par la quantité conjuguée, calcule f'(a) par la définition (pour a > 0).
b) Détermine l'équation de la tangente au point d'abscisse a = 4.
c) Utilise cette tangente pour donner une valeur approchée de √4,2 puis de √3,8.

Soit f(x) = $\frac{1}{x}$, pour x ≠ 0. On admet que f'(a) = −$\frac{1}{a^{2}}$.
a) Montre que la tangente au point d'abscisse a (a ≠ 0) a pour équation y = −$\frac{1}{a^{2}}$x + $\frac{2}{a}$.
b) Détermine où cette tangente coupe l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
c) Montre que l'aire du triangle formé par cette tangente et les deux axes est constante, égale à 2 (pour a > 0).

Soit f(x) = x² + bx + c, où b et c sont deux réels. On sait que la tangente à la courbe au point d'abscisse a = 1 a pour équation y = 4x − 1.
a) On admet que f'(a) = 2a + b. Détermine b et c.
b) Écris f'(a) une fois b connu.
c) Détermine l'équation de la tangente au point d'abscisse a = −2, puis le point d'intersection de cette tangente avec la droite y = 4x − 1.

Soit f(x) = x².
a) Écris l'approximation affine de f au voisinage de a : f(a + h) ≈ f(a) + 2a×h.
b) En prenant a = 5, donne une valeur approchée de 5,03² puis de 4,98².
c) La parabole est convexe (« creuse vers le haut »). Explique pourquoi l'approximation affine donne toujours une valeur légèrement inférieure à la valeur exacte, et vérifie-le sur les deux cas de la question b).

Un objet se déplace sur une droite ; sa position (en mètres) à l'instant t (en secondes, t ≥ 0) est x(t) = t² − 4t + 5.
a) Calcule la vitesse moyenne entre t = 1 s et t = 4 s.
b) La vitesse instantanée est v(t) = x'(t). Calcule v(t) par la définition, puis v(1), v(2) et v(4).
c) À quel instant l'objet est-il momentanément à l'arrêt (v = 0) ? Interprète ce moment.

Soit la parabole d'équation f(x) = x² et le point P(1 ; −3), situé en dehors de la parabole.
a) Rappelle l'équation de la tangente à la parabole au point d'abscisse a (sous la forme y = 2ax − a²).
b) Écris la condition pour que cette tangente passe par P, et résous l'équation obtenue en a.
c) Donne les équations des deux tangentes à la parabole issues de P, ainsi que leurs points de contact.