Dérivation : nombre dérivé et tangente

a) Pour $f(x) = x^{2}$, $f'(a) = 2a$, donc $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\times h = a^{2} + 2a\times h$.

b) On prend $a = 5$, donc $a^{2} = 25$ et $2a = 10$.
$5{,}03^{2}$ : $h = 0{,}03$, donc $5{,}03^{2} \approx 25 + 10\times 0{,}03 = 25 + 0{,}3 = 25{,}3$.
$4{,}98^{2}$ : $h = -0{,}02$, donc $4{,}98^{2} \approx 25 + 10\times (-0{,}02) = 25 - 0{,}2 = 24{,}8$.

c) L'approximation affine consiste à remplacer la courbe par sa tangente au point d'abscisse a. Pour une fonction convexe, la courbe est située au-dessus de sa tangente (sauf au point de contact). Donc la valeur lue sur la tangente (l'approximation) est toujours inférieure ou égale à la vraie valeur lue sur la courbe.
Vérifions : $5{,}03^{2} = 25{,}3009 > 25{,}3$ (approximation), et $4{,}98^{2} = 24{,}8004 > 24{,}8$ (approximation). Dans les deux cas l'approximation est bien légèrement plus petite que la valeur exacte, ce qui confirme le raisonnement.

a) $f(a) = \frac{1}{a}$ et $f'(a) = -\frac{1}{a^{2}}$.
Tangente : $y = -\frac{1}{a^{2}}(x - a) + \frac{1}{a} = -\frac{1}{a^{2}}x + \frac{a}{a^{2}} + \frac{1}{a}$.
Or $\frac{a}{a^{2}} = \frac{1}{a}$, donc $y = -\frac{1}{a^{2}}x + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = -\frac{1}{a^{2}}x + \frac{2}{a}$.

b) Axe des abscisses $(y = 0)$ : $-\frac{1}{a^{2}}x + \frac{2}{a} = 0$, donc $\frac{1}{a^{2}}x = \frac{2}{a}$, donc $x = \frac{2}{a}\times a^{2} = 2a$. Point $(2a \,;\, 0)$.
Axe des ordonnées $(x = 0)$ : $y = \frac{2}{a}$. Point $(0 \,;\, \frac{2}{a})$.

c) Le triangle rectangle a pour côtés, le long des axes, les longueurs 2a et $\frac{2}{a}$ (positives car $a > 0$).
$\text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \frac{1}{2} \times 2a \times \frac{2}{a} = \frac{1}{2} \times \frac{4a}{a} = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
Le facteur a se simplifie : l'aire vaut 2 quelle que soit la valeur de $a > 0$. C'est une propriété remarquable de l'hyperbole 1/x.