Dérivation : nombre dérivé et tangente

Soit $f(x) = x^{2}$. Détermine l'abscisse a du point de la parabole où la tangente est horizontale.

Soit $f(x) = x^{2}$. Trouve l'abscisse a du point où la tangente à la courbe a pour coefficient directeur 6. Donne aussi les coordonnées de ce point.

Soit $f(x) = x^{3}$, pour laquelle $f'(a) = 3a^{2}$. Détermine l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a = 1$.

Soit $f(x) = x^{2}$. Détermine l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse $a = -1$.

Soit $f(x) = 2x^{2} + 1$. En utilisant la définition, calcule f'(a) puis f'(3).

Soit $f(x) = x^{2} - 4x + 1$. On admet que $f'(a) = 2a - 4$. Détermine l'équation de la tangente au point d'abscisse $a = 1$.

Soit $f(x) = x^{2} - 3x$. En utilisant la définition (taux d'accroissement puis limite), montre que $f'(a) = 2a - 3$. En déduire f'(2).

Un ballon est lancé et sa hauteur (en mètres) est donnée par $h(t) = -5t^{2} + 20t$, où t est le temps en secondes. Calcule la vitesse moyenne du ballon entre $t = 1\,\text{s}$ et $t = 3\,\text{s}$, et interprète le résultat.

Soit $f(x) = \frac{1}{x}$, définie pour $x \ne 0$. En utilisant la définition, montre que $f'(a) = -\frac{1}{a^{2}}$ (avec $a \ne 0$). En déduire f'(2).

Soit $f(x) = \sqrt{x}$. On admet que $f'(100) = 0{,}05$. À l'aide de l'approximation affine, donne une valeur approchée de $\sqrt{101}$, puis de $\sqrt{100{,}6}$.