Dérivation : nombre dérivé et tangente
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Soit f(x) = x² − 3x. En utilisant la définition (taux d'accroissement puis limite), montre que f'(a) = 2a − 3. En déduire f'(2).
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Étape 1 : on calcule f(a+h).
f(a+h) = (a+h)² − 3(a+h) = a² + 2ah + h² − 3a − 3h.
Étape 2 : le numérateur f(a+h) − f(a), avec f(a) = a² − 3a.
f(a+h) − f(a) = (a² + 2ah + h² − 3a − 3h) − (a² − 3a) = 2ah + h² − 3h.
Étape 3 : le taux, simplifié par h.
= = 2a + h − 3.
Étape 4 : on fait tendre h vers 0 : 2a + h − 3 → 2a − 3.
Donc f'(a) = 2a − 3.
Application : f'(2) = 2×2 − 3 = 4 − 3 = 1. - 2
Soit f(x) = x². Détermine l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a = −1.
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On sait que pour f(x) = x², f'(a) = 2a.
Étape 1 : on calcule ce dont on a besoin en a = −1.
f(−1) = (−1)² = 1 et f'(−1) = 2×(−1) = −2.
Étape 2 : on écrit l'équation y = f'(a)(x − a) + f(a).
y = −2(x − (−1)) + 1 = −2(x + 1) + 1.
Étape 3 : on développe.
y = −2x − 2 + 1 = −2x − 1.
Vérification : en x = −1, y = −2×(−1) − 1 = 2 − 1 = 1 = f(−1). La tangente touche bien la courbe au point (−1 ; 1). - 3
Soit f(x) = 2x² + 1. En utilisant la définition, calcule f'(a) puis f'(3).
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Soit f(x) = √x. On admet que f'(100) = 0,05. À l'aide de l'approximation affine, donne une valeur approchée de √101, puis de √100,6.
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Soit f(x) = , définie pour x ≠ 0. En utilisant la définition, montre que f'(a) = − (avec a ≠ 0). En déduire f'(2).
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Soit f(x) = x². Détermine l'abscisse a du point de la parabole où la tangente est horizontale.
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Soit f(x) = x². Trouve l'abscisse a du point où la tangente à la courbe a pour coefficient directeur 6. Donne aussi les coordonnées de ce point.
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Soit f(x) = x³, pour laquelle f'(a) = 3a². Détermine l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse a = 1.
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Soit f(x) = x² − 4x + 1. On admet que f'(a) = 2a − 4. Détermine l'équation de la tangente au point d'abscisse a = 1.
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Un ballon est lancé et sa hauteur (en mètres) est donnée par h(t) = −5t² + 20t, où t est le temps en secondes. Calcule la vitesse moyenne du ballon entre t = 1 s et t = 3 s, et interprète le résultat.
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